Exercice 1 

On considère l’équation $(E) : (m + 1)x^{2} + 2mx + m − 5 = 0$.

1) Étudier, suivant les valeurs du paramètre réel $m$, l’existence et le signe des racines de $(E)$.

2) Déterminer m pour que $(E)$ ait deux racines $x^{'}$ et $x^{''}$ vérifiant $−1 < x^{'} < 1 < x^{''}$.

3) Trouver une relation indépendante de $m$ entre les racines de $(E)$.

4) Former l’équation du second degré ayant pour racines $(3x^{'} − 2)$ et $(3x^{''} − 2)$.

5) En déduire m pour que l’on ait : $3x^{'} − 2 = 1$.

6) Déterminer m pour que l’inégalité $(m+1)x^{2} +2mx+m−5 < 0$ soit vérifiée $8m$.

Exercice 2 

1) Déterminer un polynôme $P(x)$ de degré$ 6$, divisible par $(x−1)^{3}$ et tel que $1+P(x)$ soit divisible
par $x^{4}$.

2) Soit $P(x)$ un polynôme de degré $n$. 

Quel est le degré du polynôme :
$Q(x) = P(x) − P(x − 1)$ ?

3) On considère s’il en existe des polynômes $f(x)$ tels que $f(0) = 0$ et $f(x) − f(x − 1) = x^{k}$.

a) Prouver que $f(x)$ est degré $k + 1$. 

b) Prouver que $f(x)$ est divisible par $x^{2} + x$.

c) Déterminer le polynôme $f(x)$ pour le cas $k = 3$.

d) Déduire l’expression en fonction de n de la somme : $S= 1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + . . . + n^{3}$

Exercice 3 

Soit $(C)$ et $(C’)$ deux cercles sécants en deux points A et B .On choisit un point $C$ sur $(C)$ te un point
$D$ sur $(C’)$, ces points étant distincts de $A$ et $B$ .

Un point $P$ décrit le cercle $(C)$ .

La droite $(PA)$ coupe le cercle $(C’)$ en un point $Q$;

lorsque $P$ est en $A$ ,on considère que la droite $(PA )$ est la tangente en$A$ à $(C)$ .

1) Montrer que $(\vec{BC},\vec{BD}) = (\vec{PC},\vec{QD})(\pi)$. 

2) En déduire que $(PC)$ et $(QD)$ sont sécantes en un point $R$ si et seulement si $C, B$ et $D$ ne sont
pas alignés.

3) On suppose $B, C$ et $D$ non alignés . 

Montrer que $(\vec{RC},\vec{RD}) = (\vec{BC},\vec{BD})(\pi)$ 

4) En déduire l’ensemble décrit par $R$ quand $P$ décrit $(C)$. 

Exercice 4 

Soit $ABC$ un triangle rectangle en A tel que $AB = a$ et $AC = 2a ; I$ désigne le milieu de $[AC]$ et $G$
barycentre de $(A, 3), (B,−2)$et$(C, 1)$. 

On complétera la figure au fur et à mesure.

1) Construire le point $G$ et préciser la nature du quadrilatère $ABIG$. 

2) Exprimer en fonction de $a$ les distances $GA,GB$ et $GC$

3) A tout point M du plan, on associe maintenant le nombre réel : $f(M) = 3MA^{2}−2MB^{2}+MC^{2}$.

a) Exprimer $f(M)$ en fonction de $MG$ et $a$.

b) Déterminer et construire $(\Gamma)$ l’ensemble des $M$ du plan tel que $f(M) = 2a^{2}$ 

4) A tout point $M$ du plan, on associe maintenant le nombre réel : $h(M) = 3MA^{2}−2MB^{2}−MC^{2}$

a) Démontrer qu’il existe un vecteur $_vec{U}$ non nul tel que $h(M) =\vec{MB}.\vec{U}$

b) On désigne par $(\Delta)$ l’ensemble des $M$ du plan tel que $h(M) = −2a^{2}$. 

Vérifier que les points $I$ et $B$ appartiennent à $(\Delta)$ et préciser la nature de cet ensemble. 
Construire $(\Delta)$

5) $(\Gamma)$ et $(\Delta)$ sont sécants en deux ponts $E$ et $F$. 

Monter que les triangles$ GEC$ et $GFC$ sont
équilatéraux.