Composition du 1er semestre - 1er S1

Exercice 1

On considère l'application $f\ :\ \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\\ x\mapsto x^{2}-4x+5$

1.a Montrer que $\forall x\in\mathbb{R}\ :\ f-2-x)=f(2x+x)$

b. L'application $f$ est-elle injective ? Justifier

2.a Montrer que $\forall x\in\mathbb{R}\ :\ f(x)\geq 1$

b. L'application $f$ est surjective ? justifier

3. Résoudre dans $\mathbb{R}\ :\ \sqrt{f(x)}=x-m$ et $\sqrt{f(x)}\geq 2x-1$ avec $m$ un paramètre réel

4. Soit l'application $g\ :\ \left[2\ ;\ +\infty\right[\rightarrow\left[1\ ;\ +\infty\right[\\
x\mapsto g(x)=f(x)$

Montrer que $g$ est bijective et expliciter sa bijection réciproque $g^{-1}$

Exercice 2

Soit l'expression $f$ définie pour tout $x\in\mathbb{R}$ par $f(x)=1+\cos(2x)+\sqrt{3}\sin(2x)$

1. Calculer $f\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$

2. Montrer que : $\cos x+\sqrt{3}\sin x=2\sin \left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)$

3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ puis dans $]-\pi\ ;\ \pi]$ l'équation $\cos x+\sqrt{3}\sin x+\sqrt{3}=0$

4. Montrer que $f(x)=4\cos x\times \sin\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)$ pus calculer $\cos\dfrac{\pi}{12}$

5. Soit $g$ l'expression définie pour tout $x\in\left]0\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right[$ par $g(x)=\dfrac{1-\cos(2x)}{\sin(2x)}$

a. Montrer que $g(x)=\tan àx$

b. Calculer $\tan \dfrac{\pi}{12}$ et en dédire $\sin\dfrac{\pi}{12}$

c. Résoudre dans $\left]0\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right[$ l'inéquation $g(x)\leq \sqrt{3}$

Exercice 3

Partie A

On donne un triangle $ABC$ de sens direct tel que : $\left(\overrightarrow{BC}\;,\overrightarrow{BA}\right)=\dfrac{5\pi}{21}+2k\pi$ et $\left(\overrightarrow{CA}\;,\overrightarrow{CB}\right)=\dfrac{\pi}{3}+2k \pi$

Soit le triangle $ABE$ isocèle en $B$ tel que : $\left(\overrightarrow{BA}\;,\overrightarrow{BE}=\dfrac{3\pi}{7}+2k\pi\right)$

Soit le triangle $ACD$ rectangle en $\mathbb{C}$ de sens direct et $\left(\overrightarrow{DC}\;,\overrightarrow{DA}\right)=-2k\pi\ ;\ k\in\mathbb{Z}$

1. Montrer que $\left(\overrightarrow{AE}\;,\overrightarrow{AB}\right)=\dfrac{2\pi}{7}+2k\pi$

2. Calculer $\left(\overrightarrow{AB}\;,\overrightarrow{AC}\right)$ et $\left(\overrightarrow{AC}\;,\overrightarrow{AD}\right)$ pis dédire que les points $E$ ; $A$ et $D$ sont alignés

Partie B 

Soit un triangle $ABC$, $H$ le projeté orthogonale de $A$ sur $(BC)$, $P$ et $Q$ sont les  projetés orthogonaux de $H$ respectivement sur $(AB)$ et $(AC)$

1. Montrer que l'angle $\left(\overrightarrow{HA}\;,\overrightarrow{HQ}\right)=\left(\overrightarrow{CB}\;,\overrightarrow{CQ}\right)[\pi]$ et $\left(\overrightarrow{HA}\;,\overrightarrow{HQ}\right)=\left(\overrightarrow{PA}\;,\overrightarrow{PQ}\right)[\pi]$

Partie C

Soient $A$ et $B$ deux points distincts du plan orienté.

Déterminer et construire l'ensemble $\left(\mathfrak{F}\right)$ des points $M$ du plan tels que : $\left(\overrightarrow{MA}\;,\overrightarrow{MB}\right)\equiv\dfrac{\pi}{3}[2\pi]$

Exercice 4

$ABC$ un triangle en $A$ tel que $Ab=a$ et $AC=2a$ avec $a\in\mathbb{R}_{+}^{\ast}$

$I$ désigne le milieu de $[AC]$, $J$ milieu de $[AI]$ et $G$ barycentre des points pondérés $(A\ ;\ 3)$, $(B\ ;\ -2)$, $(C\ ;\ 1)$

1. Démontrer que les points $B$, $G$ et $J$ sont alignés

2. Quelle est la nature du quadrilatère $ABIG$

3. Montrer que $GA=GC=a\sqrt{2}$ et $GB=a\sqrt{5}$

4. A tout point $M$ du plan, on associe le réel $f(M)=3MA^{2}-2MB^{2}+MC^{2}$

a. Exprimer $f(M)$ en fonction de $MG$ et $\alpha$

b. Déterminer et construire l'ensemble $\left(\Gamma\right)$ des points $M$ du plan tels que $f(M)=2\alpha^{2}$

5. A tout point $M$ du plan on associe $h(M)=MA^{2}-MC^{2}$

a. Démontrer qu'il existe un vecteur $\vec{u}$ non nul tel que $h(M)=\overrightarrow{IM}\cdot\vec{u}$

b. On désigne par $(\Delta)$ l'ensemble des points $M$ du plan tels que $h(M)=-2a^{2}$

$-\ $Vérifier que le point $J$ appartient à $(\Delta)$

$-\ $Déterminer et construire $(\Delta)$

6. Déterminer l'ensemble $(\Psi)$ des points $M$ du plan tels que : $\left|\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}\right|\right|=2\left|\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MI}\right|\right|$