EXERCICE 1 : 

$ABC$ est un triangle du plan tel que : $AB = 4cm , AC = 5cm$ et $\cos(\overbrace{A}) =\dfrac{3}{5}$.

1. Construire le triangle $ABC$ sans chercher une valeur approchée de l’angle $\overbrace{BAC}$ et expliquer la méthode utilisée. 

2. $A’$ est le milieu de $[BC]$ et $I$ est le barycentre des points pondérés $(A, 2), (B, −1)$ et $(C, 1)$

a) Démontrer que $AA’CI$ est un parallélogramme. 

b) Définir $I$ comme barycentre des points $A, A’, B$ et $C$ affectés des coefficients dont la somme est $1$. 

3. Calculer $BC, AA’, \cos(\overbrace{ACB})$ et $IC$

4. Déterminer et Construire :

a) L’ensemble $E_{1}$ des points $M$ du plan tels que :$\dfrac{MA}{MB}= 2$

b) L’ensemble $E_{2}$ des points M du plan tels que : $\vec{AB} . (2\vec{MA}−\vec{MB} + \vec{MC} ) = −16$

5. Pour tout point $M$ du plan, On pose $f(M) = \vec{CM} . (2\vec{MA} +\vec{MC} )$

a) Calculer $f(A), f(B), f(C)$ et $f(I)$ 

b) Déterminer pour tout réel $k$, la ligne de niveau $k$ de $f$. 

c) Construire la ligne de niveau passant par $A$.

EXERCICE 2 : 

Une chaîne de vélo s’enroule autour d’un pignon $(P)$ de centre $O$ et de rayon $r$ et d’un
pédalier $(P’)$ de centre $O’$ et de rayon $r′$.

On pose : $OO′ = d$. 

Soit $\alpha$ la mesure de l’angle que
fait $(OO’)$ avec $(AA’)$, tangente commune extérieure a $(P)$ et a $(P ')$.

1. Montrer que : $\sin\alpha =\dfrac{r′−r}{d}$. 

2. Exprimer $\cos 2\alpha$ en fonction de $\sin\alpha$ et déduire que $\cos 2\alpha =\dfrac{d^{2}−2(r′−r)^{2}}{d^{2}}$ .

3. On se propose de calculer la longueur $L$ de la chaîne.

Soit $A$ et $B$ (respectivement $A’$ et $B’$) les points de contact de la chaîne avec $(P)$ (respectivement $(P’)$).

a. Montrer que∶ $AA′ = d\cos\alpha$.

b. Montrer que : $\overbrace{AOB} =\overbrace{A′O′B′ }= \pi − 2\alpha$.

c. En déduire, en fonction de $\alpha, r$, la longueur de l’arc $\overbrace{AB}$ puis montrer que

$\overbrace{A′B′} = r′(\pi + 2\alpha)$ Où la chaîne est en contact avec $(P)$ et $(P’)$.

d. Montrer que : $L = 2d\cos\alpha + \pi(r′ + r) + 2\alpha(r′ − r)$. 

4. Application : $r =5cm, r’=10cm$ et $d=45cm$.
 
Calculer une valeur approchée a  $10^{−2}$
de $\alpha$ et $L$ .

EXERCICE 3 :

1. Calculer les limites suivantes

a. $\lim\limits_{x\longrightarrow 0}\dfrac{sqrt{x+3}−\sqrt{4x+3}}{\sqrt{x+4}−\sqrt{2x+4}}$

b. $\lim\limits_{x\longrightarrow 8}\dfrac{\sqrt{x} −2}{\sqrt{x+19} −3}$

c. $\lim\limits_{x\longrightarrow 0}\dfrac{x(1−\cos x)}{\sin 3x−3 \sin x}$

d. $\lim\limits_{x\longrightarrow \dfrac{\pi}{3}}\dfrac{\tan x tan\left(x−\dfrac{\pi}{3}\right)}{1−2 \cos x}$

e. $\lim\limits_{x\longrightarrow 2}\dfrac{
2−\sqrt{x^{2}−4x+8}}{x−2}\sin \left(\dfrac{1}{x−2}\right)$

f. $\lim\limits_{x\longrightarrow 0}
\sin \left[xE \left(\dfrac{\pi}{x}\right)\right] $

2. On considère les fonctions $f_{m}$ et $g_{m}$ par : $g_{m}(x )=\dfrac{(m^{2}-m)x^{2}+2mx+1}{(m-1)x^{2} +x-2}$ et
$f_{m}(x)=\sqrt{x^{2}+x +1}−mx$ .

Discuter suivant les valeurs du paramètre la limite en $+\infty$ et $−\infty$ de $f_{m}$ et $g_{m}$