Inéquations trigonométriques - TS2

Résoudre dans l'intervalle $[0\ ;\ 2[$, puis dans l'intervalle $]-\pi\ ;\ \pi]$ les inéquations suivantes :

1. $2\cos x+1> 1$

2. $\sqrt{3}\cos x-1\leq 0$

3. $1-2\sin x\leq 0$

4. $2\sin x-\sqrt{3}< 0$

6. $\sqrt{3}\tan x-3\leq 0$

7. $4\cos^{2} x-2\left(\sqrt{2}-1\right)\cos x-\sqrt{2}> 0$

8. $4\sin^{2} x-2\left(1+\sqrt{3}\right)\sin x+\sqrt{3}\leq 0$

9. $-4\    cos^{2} x+2\left(\sqrt{2}+1\right)\sin x+4+\sqrt{2}\leq 0$

10. $4\sin^{2}x+2\left(1-\sqrt{3}\right)\cos x-4+\sqrt{3}> 0$

11. $\tan^{2} x-3\leq 0$

12. $\sqrt{3}\tan^{2} x-\left(1+\sqrt{3}\right)\tan x+1 > 0$

13. $-3\tan^{4} x+4\tan x-1\geq 0$

14. $\dfrac{2\cos 2x-1}{1+2\cos 2x}< 0$

15. $\left( tan x-1\right)\left(2\cos x-1\right)< 0$

16. $\sin\left(\dfrac{\pi}{3}+2x\right)>\cos \left(\dfrac{\pi}{3}+2x\right)$

Formules trigonométriques

Exercice 10

Calculer en fonction des lignes trigonométriques de $\alpha$ les lignes trigonométriques des réels suivants :

a. $\alpha-5\pi$ ; b. $-\alpha-\pi$ ; c. $-\alpha-2\pi$ ; d. $-\alpha-\dfrac{\pi}{2}$ ; e. $\alpha-\dfrac{9\pi}{2}$ ; f. $-\alpha+\dfrac{5\pi}{2}$

Exercice 11

Calculer les lignes trigonométriques des angles suivants : 

a. $3\pi\ ;\ -5\pi$ ; $\dfrac{3\pi}{2}$

b. $\dfrac{3\pi}{4}\ ;\ -\dfrac{7\pi}{4}$ ; $\dfrac{15pi}{4}$

c. $-\dfrac{2\pi}{3}$ ; $\dfrac{5\pi}{3}$  ; $\dfrac{8\pi}{3}$

d. $\dfrac{7\pi}{6}$ ; $\dfrac{13\pi}{6}$ ; $\dfrac{31\pi}{6}$

Exercice 12

Simplifier les expressions suivantes :

$A=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)-\cos\left(-\alpha+2k\pi\right)+\cos\left(3\pi+\alpha\right)+\sin\left(\alpha-\dfrac{7\pi}{2}\right)$

$B=2\tan\left(a+\dfrac{3\pi}{2}\right)+\tan\left(a-\dfrac{5\pi}{2}\right)+3co\tan\left(\alpha+k\pi\right)-co\tan\left[\left(2k+1\right)\pi-\alpha\right]$

$C=\dfrac{\cos\left(3\alpha+\dfrac{\pi}{2}\right)+\cos\left(\dfrac{5\pi}{2}-3\alpha\right) +\sin\left(3\alpha+k\pi\right)}{\cos\left(3\alpha-\pi\right)+\cos\left(k\pi +3\alpha\right)+\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}-3\alpha\right)}$

Exercice 13

Montrer que chacune des fonctions suivantes est constante : 

1. $f\ :\ x\mapsto \sin 2x+\left(\sin x-\cos x\right)$

2. $f\ :\ x\mapsto \cos x+\cos \left(\dfrac{2\pi}{3}+x\right)+\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}-x\right)$

3. $f\ :\ x\mapsto \sin x+\sin\left(\dfrac{\pi}{3}+x\right)+\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}-\right)$

Exercice 14

Montrer que, pour tout réel $x$, on a les égalités suivantes : 

1. $\cos x+\sin x=\sqrt{2}\sin \left(\dfrac{\pi}{4}+x\right)$

2. $\cos x-\sin x=\sqrt{2}\sin \left(\dfrac{\pi}{4}-x\right)=\sqrt{2}\cos\left(\dfrac{\pi}{4}+x\right)$

3. $\cos x+\cos 2x+\cos 3x+\cos 4x=4\cos\dfrac{x}{2}\cos x\cos\dfrac{5x}{2}$

4. $\sin x+\sin 2x+\sin 3x+\sin 4x=4\cos\dfrac{x}{2}\cos x\sin \dfrac{5x}{2}$

5. $4\sin x\sin\left(\dfrac{\pi}{3}-x\right)\sin\left(\dfrac{\pi}{3}+x\right)$