Chapitre 2 : Limites et continuité - Ts2

A limites

a. Limites des fonctions de référence

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Fonction }&\text{Ens. de déf}&\text{Lim. en }0&\text{Lim. en }+\infty&\text{Lim en }-\infty\\ \hline x\mapsto x^{n}(n\text{ pair})&]-\infty\ ;\ +\infty[&0&+\infty&+\infty\\
\hline x\mapsto x^{n}(n\text{impaire })&]-\infty\ ;\ +\infty[&0&+\infty&-\infty\\ \hline
x\mapsto \dfrac{1}{x}&]-\infty\ ;\ 0[\cup]0\ ;\ +\infty[&\lim_{0^{-}}=-\infty\;,\lim_{0^{+}}=+\infty&0&0\\
\hline x\mapsto \sqrt{x}&[0\;,+\infty[&0&+\infty&\text{imposs}\\ \hline x\mapsto \dfrac{\sin x}{x}&]-\infty\ ;\ 0[\cup]0\ ;\ +\infty[&1&0&0\\ \hline x\mapsto \dfrac{1-\cos x}{x^{2}}&]-\infty\ ;\ 0[\cup]0\ ;\ +\infty[&\dfrac{1}{2}&0&0\\ \hline \end{array}$

b. Opérations sur les limites

Limite d'une somme, d'un produit, d'un quotient : on utilise les règles usuelles (limite finie + limite
finie, $\infty+\infty$, etc.), en retenant les quatre formes indéterminées : $+\infty-\infty\;,0\times \infty\;,\dfrac{\infty}{\infty}\;,\dfrac{0}{0}$

Remarques :

$\bullet\ $Certaines fonctions n'ont pas de limite en $x_{0}\left(\text{ex\ :\ }x\mapsto\dfrac{1}{x}\text{ en }0\right)$

$\bullet\ $Certaines fonctions n'ont pas de limite au voisinage de $+\infty\left(\text{ex\ :\ }\sin\right)$

Théorème 1 (limite d'une composée)

Soient $f$ et $g$ deux fonctions, $\alpha$, $L^$, $L'$ trois réels $\left(\text{éventuellement }+\infty\text{ ou }-\infty\right)$ Si  

$\lim\limits_{x\rightarrow \alpha}f(x)=L$ et 

$\lim\limits_{t\rightarrow L}g(t)=L'$

alors $\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }g[f(x)]=L'$

c. Théorème de comparaison

Théorème 2 (Théorème des gendarmes)

Soient $f$, $g$, $h$ trois fonctions telles que, pour $x$ assez grand, $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$

Si $\lim\limits_{x\longrightarrow +\infty}g(x)=\lim\limits_{x\longrightarrow +\infty}h(x)=L$ alors $\lim\limits_{x\longrightarrow +\infty}f(x)=L$

Théorème 3

Soient $f.g$ deux fonctions

$\bullet\ $Si, pour $x$ assez grand, $f(x)\geq g(x)$ et $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}(x)=+\infty$, alors $\lim\limits_{x\longrightarrow +\infty}f(x)=+\infty$

$\bullet\ $Si, pour $x$ assez grand, $f(x)\leq g(x)$ et $\lim\limits_{x\longrightarrow +\infty}g(x)=-\infty$, alors $\lim\limits_{x\longrightarrow +\infty}f(x)=-\infty$