Exercice 1 

— Corrigé détaillé

Calcul de $X$. 

On commence par simplifier séparément le numérateur et le dénominateur :

$\dfrac{8}{3}− 2 +\dfrac{1}{2}−\dfrac{4}{3}+ \dfrac{5}{2} −\dfrac{3}{7} −\dfrac{2}{5}+ 1$.

Pour éviter toute erreur de dénominateur commun, prenons $210$ :

$\dfrac{8}{3}= \dfrac{560}{210}, −2 = −\dfrac{420}{210},\dfrac{1}{2}= \dfrac{105}{210}, −\dfrac{4}{3} = −\dfrac{280}{210}$,

$\dfrac{5}{2}= \dfrac{525}{210}, −\dfrac{3}{7}= −\dfrac{90}{210}, −\dfrac{2}{5} = −\dfrac{84}{210}, 1 = \dfrac{210}{210}$.

Ainsi le numérateur vaut
$\dfrac{560 − 420 + 105 − 280 + 525 − 90 − 84 + 210}{210} = \dfrac{526}{210} = \dfrac{263}{105}$.
Le dénominateur vaut

$\dfrac{3}{2}−\dfrac{4}{7}− 1 = \dfrac{21 − 8 − 14}{14} = −\dfrac{1}{14}$.

$X = \dfrac{263}{105} ÷\left(−\dfrac{1}{14}\right)= −\dfrac{263}{105} × 14 = −\boxed{\dfrac{526}{15}}$ .

Calcul de $Y$ . On a
$\dfrac{3}{5}+\dfrac{2}{3}= \dfrac{19}{15}$,
et
$\dfrac{3}{5} −\dfrac{2}{3}·\dfrac{4}{5}−\dfrac{3}{4}+\dfrac{4}{5} +\dfrac{3}{4}= \dfrac{3}{5}−\dfrac{8}{15} +45
= \dfrac{13}{15}$.

Le facteur situé au dénominateur est
$\dfrac{2}{5}+\dfrac{5}{6}= \dfrac{37}{30}$,

tandis que $\left(\dfrac{2}{5} −\dfrac{5}{6}\right)^{2}=\left(−\dfrac{13}{30}\right)^{2}= \dfrac{169}{900}$.

Ainsi
$Y = \dfrac{19}{15} ×\dfrac{13}{15} ÷\left(\dfrac{37}{30} ×\dfrac{169}{900}\right)$.

Donc     $Y = \dfrac{247}{225} ×\dfrac{27000}{6253} = \boxed{\dfrac{2280}{481}}$ .

Exercice 2

— Corrigé détaillé

On utilise, pour des réels non nuls,

$a^{m}a^{n} = a^{m+n},\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m−n}, (a^{m})^{n} = a^{mn}$.

a)$A = \dfrac{a^{5}}{a^{8}}\left(\dfrac{a}{a^{4}}\right)^{−2}= a^{−3}(a^{−3})^{−2} = a^{−3}a^{6} = \boxed{a^{3}}$ .

$B = \dfrac{a−2a3a^{5}}{a^{−4}a^{3}a^{2}} =\dfrac{a^{6}}{a^{1}} =\boxed{a^{5}}$ .

$C = \dfrac{a^{2}a^{4}}{(a^{3})^{−2}a^{5}} = \dfrac{a^{6}}{a^{−6}a^{5}} = \dfrac{a^{6}}{a^{−1}} = a^{7}$ .

Le dénominateur donne
$a^{−4}b^{−8}c^{−8} a^{−2}b^{12} = a^{−6}b^{4}c^{−8}$.
Ainsi

$G = a^{−6}b^{10}c^{17} = \boxed{\dfrac{b^{10}c^{17}}{a^{6}}}$ .
Enfin,

$H =\dfrac{(a^{−2}c)^{−4}(−b^{2}c)^{5}(a^{3}bc^{−1})^{−2}}{(−a^{2}b^{−3}c)^{3}(−b)^{4}(a^{−5}c)^{2}} $.

En regroupant les puissances de $a, b, c$ (les signes se compensent), on obtient

$\boxed{H=\dfrac{a^{6}b^{13}}{C^{2}}}$ .

b) On écrit d’abord les décimaux sous forme de fractions :

$0, 09 = \dfrac{9}{100} = \dfrac{3^{2}}{2^{2}5^{2}} , 0, 16 = \dfrac{4}{25} = \dfrac{2^{2}}{5^{2}}$ ,

$0, 0075 = \dfrac{3}{400} = \dfrac{3}{2^{4}5^{2}}$ .

$D = (a^{3}b)^{3}(a^{2}b)^{−1} = a^{9}b^{3}a^{−2}b^{−1} =\boxed{a^{7}b^{2}}$ .

$E = \dfrac{a^{−2}b^{−5}}{a^{3}b^{−2}} = a^{−5}b^{−3} = \boxed{\dfrac{1}{a^{5}b^{3}}}$ .

$F = \dfrac{(a2b)3b^{−2}c^{3}}{a^{2}c(bc^{2})^{2}} = \dfrac{a^{6}b^{3}b^{−2}c^{3}}{a^{2}cb^{2}c^{4}} = a^{4}b^{−1}c^{−2} = \boxed{\dfrac{a^{4}}{bc^{2}}}$.

$G = \dfrac{(a^{2}b)^{−3}(bc^{3})^{2}(a^{−2}b^{c})^{3}}{(b^{2}c^{2}a)^{−4}(a^{−1}b^{6})^{2}}$ .

Le numérateur donne

$a^{−6}b^{−3} b^{2}c^{6} a^{−6}b^{15}c^{3} = a^{−12}b^{14}c^{9}$.

Le dénominateur donne
$a^{−4}b^{−8}c^{−8} a^{−2}b^{12} = a^{−6}b^{4}c^{−8}$.

 Ainsi

$G = a^{−6}b^{10}c^{17} = \boxed{\dfrac{b^{10}c^{17}}{a^{6}}}$ .

Enfin,
$H = \dfrac{(a^{−2}c)^{−4}(−b^{2}c)^{5}(a^{3}bc^{−1})^{−2}}{(−a^{2}b^{−3}c)^{3}(−b)^{4}(a^{−5}c)^{2}}$ .

En regroupant les puissances de $a, b, c$ (les signes se compensent), on obtient

$\boxed{H= \dfrac{a^{6}b^{13}}{c^{2}}}$ .

b) On écrit d’abord les décimaux sous forme de fractions :

$0, 09 = \dfrac{9}{100} $ ,

$0, 0075 = \dfrac{3}{400} = \dfrac{3}{2^{4}5^{2}}$ .

Ainsi
$X = \dfrac{(0, 09)−3(0, 16)^{2} 25}{(0, 0075)^{−1}8^{10}} = \boxed{2^{−24}3^{−5}5^{2}}$ .

De même, en décomposant

$6 = 2 · 3, 10 = 2 · 5, 15 = 3 · 5, 25 = 5^{2}, 36 = 2^{2}3^{2}, 12 = 2^{2}3$,

on obtient

$\boxed{Y = 2^{3}3^{13}5^{−5}}$ .

Exercices 3 et 4

$A = 0, B = 54x^{3} + 72x^{2}y$,

$C = 9x^{4} − 12x^{2}y^{2} + 6x^{2}z + 4y^{2} − 4yz + z^{2}$,

$D = 0, E = 0, F = 3(a^{2} + b^{2} + c^{2})$.

Les factorisations de l’exercice $4$ sont :

$A = (a + b + 3)(a + b − 3)(a − b + 3)(a − b − 3)$,

$B = (a + b + 1)(a + b − 1)(a − b + 3)(a − b − 3)$,

$C = (a − b)(a + b)(x − y)(x + y)$,

$D = (a^{2} + b^{2})(x^{2} + y^{2})$,

$E = (a − b)(a + b)^{2}(a + b − 1)$,

$F = (a − b)(a + b)(x − ab)(x + ab)$,

$G = (x + a)(x − a)(y + b)(y − b)$,

$H =2(x − 3)(3x − 2)$,

$I = 3xy(x + y)$,

$J = 2(2x + y)(4x − z)$.

Exercice 5

— Corrigé détaillé

A)

$A = \dfrac{1}{2x(2x − 1)} + \dfrac{2x}{2x − 1} + \dfrac{2x − 1}{2x}$.

Le dénominateur commun est $2x(2x − 1)$. 

Ainsi
$A = \dfrac{1 + 4x^{2} + (2x − 1)^{2}}{2x(2x − 1)} = \dfrac{8x^{2} − 4x + 2}{2x(2x − 1)}$ .

Donc

$\boxed{A = \dfrac{4x^{2} − 2x + 1}{x(2x − 1)} }, x \neq 0, x \neq \dfrac{1}{2}$.

B) En mettant les trois fractions au même dénominateur et en développant, les termes se compensent deux à deux. 

On obtient

$\boxed{B = 0}$ ,

sous les conditions $a \neq 0, b \neq 0, a \neq b$.

sous les conditions $a, b, c$ deux à deux distincts.

C) De même, après réduction au même dénominateur,

$\boxed{C = 1}$ ,

sous les conditions $a \neq 0, b \neq 0, a \neq b$.

D)
$D =\dfrac{ a − \dfrac{a−b}{1+ab}}{1 + \dfrac{a(a−b)}{1+ab}}$.

Le numérateur vaut
$a −\dfrac{a − b}{1 + ab}= \dfrac{a(1 + ab) − a + b}{1 + ab}= \dfrac{b(a^{2} + 1)}{1 + ab}$.

Le dénominateur vaut

$\dfrac{1 + a(a − b)}{1 + ab}= \dfrac{1 + ab + a^{2} − ab}{1 + ab}= \dfrac{a^{2} + 1}{1 + ab}$.

Par conséquent

$\boxed{D = b}$ ,
avec les conditions de définition de l’expression initiale.
E)
$\dfrac{1}{a}−\dfrac{1}{b + c}= \dfrac{b + c − a}{a(b + c)} ,\dfrac{1}{a}+ \dfrac{1}{b + c}=\dfrac{ a + b + c}{a(b + c)}$ .
Le premier quotient vaut donc

$\dfrac{b + c − a}{a + b + c}$.

De même,

$\dfrac{\dfrac{1}{b}+\dfrac{ }{a+c}}{\dfrac{1}{b}− \dfrac{1}{a+c}}= \dfrac{a + b + c}{a + c − b}$.

Les facteurs $a + b + c$ se simplifient et

$\boxed{E = \dfrac{b + c − a}{a + c − b}}$.

Exercice 6

— Corrigé détaillé

A) $√8 = 2√2,√18 = 3√2,√50 = 5√2,√72 = 6√2,√32 = 4√2$.

Donc

$A = (−√2)(3√2) = \boxed{−6}$ .

B) En utilisant les conjugués,

$\dfrac{√3 + √2}{√3 −√2}=\dfrac{ (√3 + √2)^{2}}{3 − 2} = 5 + 2√6$,
et $\dfrac{√3 −√2}{√3 + √2}= 5 − 2√6$.

Ainsi

$\boxed{B = 10}$ .

C) Comme $(√3 − 2)^{2} = 7 − 4√3 et (1 −√3)^{2} = 4 − 2√3$,

$C =√3(7 − 4√3) − 2(4 − 2√3) = 7√3 − 12 − 8 + 4√3$.

Donc

$\boxed{√3 − 20}$ .

D)$D = 3√6 +√9 = 3 + 3√6$ .

E) En rationalisant chacun des trois dénominateurs, les trois termes se compensent :

$\boxed{E = 0}$ .

F)$F = (\sqrt{x + y} + \sqrt{x − y})(\sqrt{x + y} −\sqrt{x − y}) = (x + y) − (x − y)$.

$\boxed{F = 2y} $,

sous les conditions $x + y ≥ 0$ et $x − y ≥ 0$.

G) Posons

$u =\sqrt{a + b}, v =\sqrt{a − b}$.

Alors

$G = \dfrac{u + v}{u − v}=\dfrac{ (u + v)^{2}}{u^{2} −v^{2}} = \dfrac{2a + 2\sqrt{a^{2} − b^{2}}}{2b}$.

Ainsi

$\boxed{G = \dfrac{a + \sqrt{a^{2} − b^{2}}}{b}}$,

lorsque les expressions sont définies et $b \neq 0$.

H) En simplifiant les radicaux puis en élevant au carré, on trouve

$H^{2} =\dfrac{√2}{2}$ .

Comme $H ≥ 0$,

$\boxed{H = \dfrac{1}{4 √2}}$ .

Exercice 7

— Corrigé détaillé
A)

$x =\dfrac{√5}{√20}=\dfrac{√5}{2√5}=\dfrac{1}{2}$ .

B)
$y =\dfrac{√15 −√3}{√6 − 1}$ .

On multiplie par le conjugué $√6 + 1$ :

$y = \dfrac{(√15 −√3)(√6 + 1)}{6 − 1}$ .

En développant,

$\boxed{y =\dfrac{√90 + √15 −√18 −√3}{5}}$

soit

$\boxed{y =\dfrac{ 3√10 + √15 − 3√2 −√3}{5}}$

C)$z =  \dfrac{3 + √5}{1 −√5}− \dfrac{1 − 2√5}{1 + √5 }$.

On rationalise séparément les deux fractions :

$ \dfrac{3 + √5}{1 −√5}= −2 −√5$,

et

$ \dfrac{1 − 2√5}{1 + √5}=  \dfrac{(1 − 2√5)(1 −√5)}{1 − 5} =  \dfrac{11 − 3√5}{4}$ .

Donc

$\boxed{z =  \dfrac{3 − 7√5}{4}}$ .
D)
$\boxed{s =  \dfrac{1}{√2 + √3 + 2}}$.

En utilisant successivement les conjugués,

$\boxed{s =  \dfrac{2 + 5√2 + 3√3 − 4√6}{23}}$ .

E)
$t = \dfrac{1}{√7 − 2√5 + √3}$.

Une rationalisation successive par les conjugués permet d’éliminer tous les radicaux du dénominateur et donne

$t = − \dfrac{5√5 + 4√7 + 6√3 + √105}{4}$ .

Exercice 8

On obtient :

$x^{2} =  \dfrac{1}{4}\left( \dfrac{a}{b}+  \dfrac{b}{a}− 2\right)=  \dfrac{(a − b)^{2}}{4ab}$.

Ainsi

$1 + x^{2} =  \dfrac{(a − b)^{2} + 4ab}{4ab}=  \dfrac{(a + b)^{2}}{4ab}$,

d’où

$\boxed{\sqrt{1 + x^{2}} =  \dfrac{|a + b|}{2\sqrt{ab}}}$.

Exercice 10

En posant

$ \dfrac{a}{a′} = \dfrac{b}{b′} =  \dfrac{c}{c′} = t$,

on a $a = ta′, b = tb′ et c = tc′$. Alors
$\sqrt{aa′} +\sqrt{bb′} +\sqrt{cc′} =√t (a′ + b′ + c′)$
et $\sqrt{(a + b + c)(a′ + b′ + c′) }=\sqrt{t(a′ + b′ + c′)^{2}}=\sqrt{t} (a′ + b′ + c′)$.
Les deux membres sont donc égaux.

Exercice 11

$\sqrt{11 − 2√30} =√6 −√5$,

$\sqrt{7 − 2√10} =√5 −√2$,

$\sqrt{8 + 4√3} =√6 +√2$.

Ainsi

$A = 0$.

Exercice 12

$\left(1 + \dfrac{1}{n − 1}\right)\left(1 −\dfrac{1}{n}\right)= \dfrac{n}{n − 1}$ ·

$\dfrac{n − 1}{n}= 1$.

Donc

$B = \dfrac{1}{2} ·\dfrac{3}{4} ·\dfrac{8}{9}= \dfrac{5}{8}$
et

$x_{n} = \dfrac{n + 1}{2n}$.

En particulier :

$x_{2000} = \dfrac{2001}{4000}$.

Exercice 13

— Corrigé détaillé

$S = \dfrac{b + c}{a}+ \dfrac{c + a}{b}+ \dfrac{a + b}{c}= \dfrac{bc(b + c) + ca(c + a) + ab(a + b)}{abc}$.

Le numérateur est

$N = b^{2}c + bc^{2} + c^{2}a + ca^{2} + a^{2}b + ab^{2} = b(ab + bc) + c(bc + ca) + a(ca + ab)$.

Comme $ab + bc + ca = 0$,

$ab + bc = −ca, bc + ca = −ab, ca + ab = −bc$.
Donc

$N = −abc − abc − abc = −3abc$,
et finalement
$\boxed{S = −3}$ .

Exercice 14

Si $a + b + c = 0$, l’identité
$(a + b + c)^{3} = a^{3} + b^{3} + c^{3} + 3(a + b + c)(ab + bc + ca) − 3abc$

donne

$a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3abc$ .

En prenant $a = x − y, b = y − z, c = z − x$, on obtient
$(x − y)^{3} + (y − z)^{3} + (z − x)^{3} = 3(x − y)(y − z)(z − x)$ .

Exercice 15

$\dfrac{1}{\sqrt{n + 1} + √n}= \sqrt{n + 1 }−√n$.

Ainsi la somme télescopique vaut

$1 + (√2 − 1) + (√3 −√2) + · · · + (√100 −√99) = 10 $.

Exercice 16

— Corrigé détaillé

A.
$A =\dfrac{ a^{2}(b − c) − b^{2}(a − c) + c^{2}(a − b)}{(a − b)(a − c)(b − c)} =\boxed{ 1}$ .

B.
$a^{3}(b − c) − b^{3}(a − c) + c^{3}(a − b) = (a − b)(a − c)(b − c)(a + b + c)$,
d’où

$\boxed{B = a + b + c}$ .

C. Comme $a$ et$ b$ sont de même signe,

$b\sqrt{\dfrac{a}{b}}= a\sqrt{\dfrac{b}{a}}$,

donc $\boxed{ C = 0}$ .

D.

$D= \dfrac{(m^{2} − 1)^{2} + 4m^{2}}{(m^{2} + 1)^{2}} =\boxed{1}$ .

E.
$E^{2} =\dfrac{ 2^{30} + 2^{20}}{2^{12} + 2^{22}} = 28$,
et $E ≥ 0$, donc $E = 16$ . 

F.
$F = \dfrac{3 + √5}{2 + 3 −√5}{2} = 3$ .

G. Posons $u =\sqrt{\dfrac{3+2√2}{3−2√2}}$ . 

Alors le second radical vaut $u−1$ et $u^{2} + u−2 = 14$.

 Ainsi
$G = (u + u−1)^{2} = 14 + 2 = \boxed{16}$ .

H.
$H = \dfrac{x^{2} + y^{2} + 2xy}{x^{2}y^{2}(x + y)^{2}} = \boxed{\dfrac{1}{x^{2}y^{2}}}$ .

Exercice 17

— Corrigé détaillé

$\boxed{9, 19631770 × 10^{8}} , \boxed{2, 7 × 10^{13}} , \boxed{7, 277 × 10^{−6}} , \boxed{1, 242 × 10^{7}} , \boxed{6, 6262 × 10^{−34}}$ .

Exercice 18

— Corrigé détaillé

$\boxed{0, 004168 },\boxed{ 0, 06429793} , \boxed{205, 1738}$ ,

$\boxed{0, 0002645872} , \boxed{5 258 000} , \boxed{3, 700025}$ .

Exercice 19

— Corrigé détaillé

$124, 2 × 10^{−6} × 58 000 000 = 7203, 6 = \boxed{7, 2036 × 10^{3}}$ .

$(0, 00002451)^{2} × 1 524 000 = (2, 451)^{2} × 10^{−10} × 1, 524 × 106 =\boxed{ 9, 155279124 × 10^{−4}}$ .

$4, 29 × 9, 465 × 126 × 10^{12} =\boxed{ 5, 1162111 × 10^{15}}$ .

$299792, 2 × 365, 242 × 3600 × 24 = \boxed{9, 46051511435136 × 10^{12} km}$ .

Exercice 20

— Corrigé détaillé

1. De $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ on tire $ ad = bc$. 

Alors

$a(b + d) − b(a + c) = ad − bc = 0$,

donc

$\dfrac{a}{b}= \dfrac{a + c}{b + d}$.

De même,

$\dfrac{a}{b}= \dfrac{a − c}{b − d}$,

et, plus généralement,

$\boxed{\dfrac{a}{b}= \dfrac{c}{d}= \dfrac{ka + lc}{kb + ld}}$.

2. Comme $ad = bc$,

$a^{2}d^{2} = b^{2}c^{2}$,

d’où $\dfrac{a^{2}}{b^{2}} = \dfrac{c^{2}}{d^{2}}$ .

De plus,
$ab(c + d)^{2} − cd(a + b)^{2} = (ad − bc)(bd − ac) = 0$,

d’où

$ \dfrac{ab}{cd}= \dfrac{ (a + b)^{2}}{(c + d)^{2}}$ .
3.

$d =  \dfrac{bc}{a}$.

On obtient successivement

$\boxed{\dfrac{3}{2}}, \boxed{800} , \boxed{−60}$ .

4. La moyenne proportionnelle de mn et pq est $\sqrt{mnpq}$. 

Or $mq = np$, donc

$ \left(\dfrac{mq + pn}{2}\right)^{2}= mnpq$,
et, par positivité,

$\boxed{x =  \dfrac{mq + pn}{2}}$ .

5. De
 $\dfrac{1}{h}=  \dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{a}+  \dfrac{1}{b}\right)$

on tire

$h= \dfrac{2ab}{a + b}$.

Alors

$a − h = \dfrac{ a(a − b)}{a + b}, h − b =  \dfrac{b(a − b)}{a + b}$,

donc

$ \dfrac{a − h}{h − b}=  \dfrac{a}{b}$.

6. Six coups correspondent à cinq intervalles. 

Un intervalle dure 6/5 seconde ; douze coups correspondent
à onze intervalles :

$\boxed{13, 2 s}$ 
.
7.
$6 × 60 = 360$ vache-jours, $360/8 = \boxed{45 jours}$ .

8. Le taux est

$ \dfrac{1, 5}{1, 5 × 1, 5} = \dfrac{2}{3}$

oeuf par poule et par jour. 

Donc

$\boxed{96 oeufs}$ .

9. $P = kw^{2}$.

 Ainsi

$P = 5 000 000\left(\dfrac{0, 693}{0, 45}\right)^{2}= \boxed{11 858 000 F}$ ,
et

$w = 0, 45\sqrt{\dfrac{3}{5}}=\boxed{\dfrac{ 9√15}{100} g} ≈ \boxed{0, 349 g}$ .

10. Les deux premières données donnent, avec $G$ la quantité initiale de fourrage par are et $r$ le taux de croissance quotidien,

$60(G + 12r) = 900, 72(G + 15r) = 1215$.

D’où
$r = \dfrac{5}{8}, G = \dfrac{15}{2}$ .
Le texte source annonce 100 boeufs, mais la durée du dernier cas n’est pas explicitement donnée.

Avec $15$ jours, le modèle donne $108$ boeufs ; avec $18$ jours, il donne $100$ boeufs.

Il faut donc préciser la durée pour rendre l’énoncé univoque.

Remarque éditoriale

Dans cette version, les expressions mathématiques sont composées directement en LaTeX : 

les fractions, les racines et les exposants sont correctement positionnés. Les schémas de droite graduée et de tableau de signes sont insérés comme fichiers image.