Chapitre 3 Dénombrement - TL
3.1 Objectifs et prérequis
Objectifs. Consolider les notions vues en Première.
À la fin du chapitre, l'élève sait :
$\bullet\ $déterminer le cardinal d'une réunion, d'une intersection, d'un complémentaire, à l'aide de schémas ;
$\bullet\ $organiser un dénombrement avec un arbre, un tableau à double entrée ou
un diagramme ;
$\bullet\ $reconnaître et calculer le nombre de p-listes, d'arrangements, de permutations et de combinaisons ;
$\bullet\ $développer $(a+b)^{n}$ avec la formule du binôme de Newton et le triangle de
Pascal.
Prérequis. Ensembles (appartenance, inclusion), opérations sur les nombres entiers, factorielle, identités remarquables
3.2 Cours
3.2.1 Ensemble finis et cardinal
Définition
Un ensemble est fini s'il a un nombre fini d'éléments.
Ce nombre est son cardinal,
noté card$(E)$.
On note $\theta$ l'ensemble vide (card$(\theta=0)$
Soit $A$ et $B$ deux parties d'un ensemble $E$ :
$\bullet A\cap B$ (intersection) : éléments appartenant à $A$ et à $B$ ;
$\bullet\ A\cup B$ (réunion) : éléments appartenant à $A$ ou à $B$ (ou aux deux) ;
$\bullet\ \overline{A}$ (complémentaire de $A$ dans $E$) : éléments de $E$ qui ne sont pas dans $A$ ;
$\bullet\ A\times B$(produit cartésien) : ensemble des couples $(a\;,b)$ avec $a\in A$ et $b\in A$
Deux parties $A$ et $B$ sont disjointes si A$A\cap B=\theta$
fig661
Propriété (cardinaux)
Pour des parties $A$ et $B$ d'un ensemble fini $E$ :
1. card$(A\cup B= card(A)+ card(B) − card(A \cap B)$ ;
2. Si $A$ et $B$ sont disjointes : card $(A\cup \text{card }(A)+\text{card }(B)$ ;
3. card$\left(\overline{A}\right)=\text{card }(E)-\text{card }A$
4. card $(A\times B)=\text{card }(A)\times \text{card }(B)$
5. si card$(E)=n$, $E$ possède $2^{n}$ parties
Démonstration (point 1, exigible) L'ensemble $A\cap B$ est la réunion disjointe de $A$
et de $B\A$, donc card$(A\cap=card(A)+card(A\B)$. Or $B$ est la réunion disjointe de $B\A$ et de $A\cup B$, donc card$(B)=card(B\A)+card(A\cup B)$, d'où card$(B\A)=\text{card }(B)-\text{card }(A\cup B$
On remplace.
Démonstration de $3$ $E$ est la réunion disjointe de $A$ et de $\overline{A}$, donc card$(E)=\text{card }(A)+\text{card}(\overline{A})$
3.2.2 Outils de dénombrement
$\bullet\ $L'arbre de choix : chaque niveau représente un choix, chaque chemin représente
une issue.
$\bullet\ $Le tableau à double entrée : on croise deux critères (par exemple filles/garçons
et internes/externes).
$\bullet\ $Le diagramme (de Venn) : pour la réunion, l'intersection, le complémentaire.
Propriété (principe multiplicatif)
Si une situation se décompose en $k$ choix successifs, le premier pouvant se faire
de $n_{1}$ façons, le deuxième de $n_{2}$ façons (quel que soit le premier choix), etc., alors
le nombre total d'issues est $n_{1}\times n_{2}\times\ldots\times n_{k}$
Propriété (principe additif)
Si une situation se partage en cas qui s'excluent mutuellement, le nombre total d'issues est la somme des nombres d'issues de chaque cas.
3.2.3 p-listes
Définition
Soit $E$ un ensemble à n éléments et $p\in \mathbb{N}^{\ast}$
Une p-liste (ou liste avec répétition) de $E$ est une suite ordonnée $\left(x_{1}\;,x_{2}\;,\ldots\;,x_{p}\right)$ d'éléments de E, non nécessairement distincts.
Propriété
Le nombre de p-listes d'un ensemble à $n$ éléments est $n^{p}$
C'est aussi le nombre d'applications d'un ensemble à $p$ éléments dans un ensemble à $n$ éléments.
Démonstration.
Chacun des $P$ éléments de la liste se choisit de $n$ façons indépendamment des autres (principe multiplicatif) : $n\times n\times x\times xn=n^{p}$
3.2.4 Arrangements et permutations
Définition
On appelle factorielle de $n\in\mathbb{N}^{\ast}$ le produit $n!=n\times(n-1)\times \ldots\times 2\times 1$ et $0!=1$
Un arrangement de $p$ éléments d'un ensemble à $n$ éléments $\left(1\leq p\leq n\right)$ est une
liste ordonnée de $p$ éléments deux à deux distincts.
Une permutation de $E$ est un arrangement de tous les éléments $(p=n)$
Propriété
1. Le nombre d'arrangements de $p$ éléments parmi $n$ est$$A_{n}^{p}=n(n-1)(n-2)\ldots(n-p+1)=\dfrac{n!}{(n-p)!}$$
2. Le nombre de permutations d'un ensemble à $n$ éléments est $n!$.
3. $A_{n}^{p}$ est aussi le nombre d'injections d'un ensemble à $p$ éléments dans un
ensemble à $n$ éléments, et $n!$ le nombre de bijections d'un ensemble à $n$ éléments sur lui-même.
Démonstration. Le premier élément se choisit de $n$ façons, le deuxième de $n-1$
façons (il doit être différent du premier), $\ldots$, le p-ième de $n-p+1$ façons. Le principe
multiplicatif donne le résultat.
Pour $p=n\ :\ A_{n}^{n}=n!$
3.2.5 Combinaisons
Définition
Une combinaison de p éléments d'un ensemble à $n$ éléments est une partie à $p$
éléments (sans ordre, sans répétition).
Leur nombre se note $C_{n}^{p}\left(\text{lire"C\;,n\;,p"\right)}$ avec $0\leq p\leq n$
Propriété
1. $C_{n}^{p}=\dfrac{A_{n}^{p}}{p!}=\dfrac{n!}{p!(n-p)!}$
2. $C_{n}^{0}=C_{n}^{n}=1$ et $C_{n}^{1}=n$
3. $C_{n}^{p}=C_{n}^{n-p}(\text{symétrie})$
4. $C_{n}^{p}=C_{n-1}^{p-1}+C_{n-1}^{p}\text{pour }1\leq p\leq n-1\text{ relation de pascal }$
Démonstration.
Pour $1$, chaque partie à $p$ éléments donne $p!$ arrangements (on les ordonne de toutes les façons) : $Aa_{n}^{p}=p!C_{n}^{p}$
Pour $3$, choisir $p$ éléments revient
à choisir les $n-p$ éléments que l'on laisse de côté.
Pour $4$, parmi les parties à $p$ éléments, on distingue celles qui contiennent un élément fixé $\left(C_{n-1}^{p-1}\text{ parties }\right)$ et celles qui ne le contiennent pas $\left(C_{n-1}^{p}\text{partie }\right)$
Méthode : choisir le bon modèle
Se poser deux questions : l'ordre compte-t-il ? Les répétitions sont-elles possibles
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline &\text{Ordre importaaant }&\text{Ordre saans importaance }\\ \hline
\text{Avec répétition }&p-\text{liste :}n^{p}&\text{(hors programme)}\\ \hline \text{Sans répétition }&\text{arrangement :}A_{n}^{p}&\text{combinaison :}C_{n}^{p}\\ \hline \end{array}$
3.2.6 Formule du binôme de Newton et triangle de Pascal
Théorème de Newton
Pour tous réels $a$,$b$ et tout entier $n\geq 1:$
$$(+b)^{n}=\sigma_{\lim n^{k=0}}C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}=a^{n}+C_{n}^{1}a^{n-1}b+\ldots+C_{n}^{n-1}ab^{n-1}+b^{n}$$
Les coefficients $_{n}^{k}$ se lisent dans le triangle de Pascal, dont chaque terme est la
somme des deux termes situés au-dessus de lui (relation de Pascal) :
$\begin{array}{|c|ccccccc} n\k&0&1&2&3&4&5&6\\ \hline 0&1&&&&&&\\ 1&1&&&&&&\\ 2&1&2&1&&&&\\
3&1&3&3&1&&&\\ 4&1&4&6&4&1&&\\ 5&1&5&10&10&5&1&\\ 6&1&6&15&20&15&6&1\\ \end{array}$
Remarque $a=b=1$, on obtient $\sigma_{k=0}^{n}=2^{2}$ : c'est le nombre de parties d'un ensemble à $n$ éléments
3.3 Exemples corrigés
Exemple 1. Réunion et complémentaire.
Dans une classe de $40$ élèves, $25$ étudient l'anglais, $18$ l'espagnol et $8$ les deux.
Combien étudient au moins une de ces langues
? Aucune ?
Soit $A$ l'ensemble des élèves d'anglais et $B$ celui d'espagnol : $\text{card }(A\cup B)=25+18-8=35$
Donc $35$ élèves étudient au moins une langue et $40-35=5$ n'en étudient aucune.
Exemple 2. Tableau à double entrée.
Dans un lycée de $120$ élèves, il y a $70$ filles, $45$ internes, dont 20 filles.
Compléter le tableau.
$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline &\text{Internes }&\ext{Externes }&\text{Total}\\ \hline
\text{Filles }&20&50&70\\ \hline \text{Garçons }&25&25&50\\ \hline \text{Total }&45&75&120\\ \hline
\end{array}$
Garçon : $1255-70=50$
Garçons internes : $45-20=25$
Filles externes : $70-20=50$
Garçons externes : $50-25=25$
Externes : $120-455=75$
fig662
Il y a $2\times 2=4$ issues $PP$, $PF$, $FP$, $FF$
Exemple 4 $p-$listes
1. Combien de code à $4$ chiffre ? $10^{4}=10000$
2. Combien sans le chiffre $0$ ? $9^{4}=6561$
3. Combien de mots de $3$ lettres (même sans sens ) avec les $266$ lettres de l'alphabet ? $26^{3}=17576$
Exemple 5
Arrangements.
Une course oppose $12$ chevaux
Combien de tiercés l'ordre compte, sans répétition : $A_{12}^{3}=12\times 11\times 10=1320$
Exemple 6. Permutations.
De combien de façons peut-on ranger $5$ livres distincts sur une étagère ? $5!=120$
Si deux livres précis doivent être côte à côte : on les regroupe en un bloc (qui se place de $4!$ façons avec les $3$ autres livres) et le bloc se range de $2$ façons : $4!\times 2=48$
Exemple 7. Combinaisons.
Une urne contient $5$ boules rouges et $4$ blanches.
On tire simultanément $3$ boules. Dénombrer les tirages :
1. au total : $C_{9}^{33}=84$ ;
2. de $2$ rouges et $1$ blanche : $C_{5}^{2}\times C_{4}^{1}=10\times 4=40$ ;
3. Contenant au moins une blanche ; on passe au complémentaire (aucune blanche, soit $3$ rouges : $84-C_{5}^{3}=84-10=74$
Exemple 8
Binôme de Newton. Développer $(x+2)^{4}$ et $(2x-1)^{3}$
$(x+2)^{4}=x^{4}+4x^{3}\cdot 2+6x^{2}\cdot 2^{2}+4x\cdot 2^{3}+2^{4}=x^{4}+8x^{33}+32x+16$
$\begin{array}{rcl} (2x-1)^{3}&=&(2x)^{3}+3(2x)^{2}(-1)+3(2x)(-1)^{2}+(-1)^{3}\\&=&8x^{3}-12x^{2}+6x-1
\end{array}$
Exemple 9 Relation de Pascal Vérifier que $C_{5}^{2}+C_{5}^{3}=C_{6}^{3}$
$C_{5}^{2}=10$, $C_{5}^{3}=10$, $C_{6}^{3}=20$ et $10+10=20$
3.4 $QCM$ (20 questions, une seule réponse exacte)
Q1. Soit $A$ et $B$ deux ensembles tels que $\text{card }(A)=12$, $\text{card }(B)=9$ et $\text{card }(A\cup B)=4$
Alors $\text{card }(A\cup B)=$
A. $21$
B. $25$
C. $17$
D. $13$
Q2. Un ensemble $E$ a $30$ éléments et $A\subset E$ a $11$ éléments
Alors $\text{card }(\overline{A})=$
A. $19$
B. $41$
C. $11$
D. $30$
Q3. Si $\text{card }(A)=4$ et $\text{card }(B)=6$, alors $\text{card }\left(A\times B\right)=$
A. $10$
B. $20$
C. $12$
D. $24$
Q4. La valeur de $5!$ est :
A. $25$
B. $120$
C. $60$
D. $24$
Q5. La valeur de $A_{6}^{2}$ est :
A. $12$
B. $15$
C. $30$
D. $36$
Q6. La valeur de $C_{6}^{2}$ est :
A. $15$
B. $30$
C. $12$
D. $36$
Q7. Le nombre de codes à $3$ chiffres (chiffres de $0$ à $9$, répétition permises) est :
A. $720$
B. $30$
C. $100$
D. $1000$
Q8. La valeur de $C_{7}^{0}+C_{7}^{1}$ est :
A. $7$
B. $8$
C. $1$
D. $14$
Q9. La valeur de $C_{8}^{5}$ est :
A. $40$
B. $336$
C. $56$
D. $120$
Q11. Dix chevaux sont au départ. Le nombre de tiercés dans l'ordre est :
A. $120$
B. $1000$
C. $30$
D. $720$
Q12. Le nombre de façons de choisir $2$ personnes parmi $5$, sans tenir compte de
l'ordre, est :
A. $20$
B. $10$
C. $25$
D. $5$
Q13. Le coefficient de $x^{2}$ dans le développement de $(x+1)^{4}$ est :
A. $4$
B. $12$
C. $6$
D. $1$
Q14. L'entier $n\geq 2$ tel que $A_{n}
^{2}+20$ est :
A $5$
B $4$
C $10$
D $20$
Q15. Le nombre d'anagrammes (mots de $4$ lettres distinctes, avec ou sans sens) du
mot CLEF est :
Â. $4$
B $16$
C $12$
D $24
Q16 Pour $0\leqcp\leq n$ on a:
A. $C_{n}^{p}=C_{n}^{p+1}$
B. $C_{n}^{p}=C_{n}^{n-p}$
C. $C_{n}^{p}=C_{n}^{p-1}$
D. $C_{n}^{p}=A_{n}^{p}$
Q17. Un menu comporte $3$ entrées, $5$ plats et $2$ desserts au choix.
Le nombre de menus complets est :
A. $10$
B. $15$
C. $30$
D. $25$
Q18. Dans une classe de $20$ élèves, on élit un délégué et un suppléant (deux élèves
différents, rôles distincts).
Le nombre de choix possibles est :
A. $380$
B. $190$
C. $400$
D. $40$
Q. 19. Dans la même classe, on choisit $2$ représentants sans distinguer leur rôle.
Le nombre de choix est :
A. $380$
B. $400$
C. $40$
D. $190$
Q20. Le développement de $(x-1)^{3}$ est :
A. $x^{3}-3x^{2}-3x-1$
B. $x^{3}-3x^{2}+3x-1$
C. $x^{3}+3x^{2}+3x-1$
D. $x^{3}-x^{2}+x-1$
3.5 Exercices (30)
A. Ensembles et cardinaux
Exercice 1
Soit $E=\left\lbrace 1\ ;\ 2\ ;\ \ldots\ ;\ 20\right\rbrace$,
A l'ensemble des multiples de $2$ et $B$ l'ensemble
des multiples de $3$ dans $E$
Déterminer $\text{card }(A)$, $\text{card }(B)$, $\text{card }(A\cup B)$, $\text{card }(A\cap B)$, $\text{card }\left(\overline{A\cap B}\right)$,
Exercice 2
Dans un sondage auprès de $100$ personnes, $60$ écoutent la radio, $50$ regardent la télévision et $20$ ne font ni l'un ni l'autre.
Combien de personnes font les deux ?
Exercice 3
Dans une classe de $35$ élèves, $20$ pratiquent le football, $15$ le basketball et $5$ aucun de ces deux sports.
Combien d'élèves pratiquent les deux ? Combien
pratiquent uniquement le football ?
Exercice 4
Dans un lycée de $200$ élèves, il y a $110$ filles, $90$ élèves demi-pensionnaires,
dont $40$ garçons.
Compléter un tableau à double entrée, en croisant le sexe (filles ou garçons) et le régime (demi-pensionnaires ou non).
Exercice 5
Soit $A=\left\lbrace aaa\ ;\ b\ ;\ ; c\right\rbrace$ et $B=\left\lbrace 1\ ;\ 2\right\rbrace$
Écrire la liste des éléments de $A\times B$, puis
déterminer $\text{card }\left(A\times B\right)$, $\text{card }\left(B\times A\right)$ et $\text{card }\left(A\times A\right)$
Exercice 6
Soit $E=\left\lbrace 1\ ;\ 2\ ;\ 2\ ;\ 3\ ;\ 3\right\rbrace$
Écrire toutes les parties de $E$
Combien y en a-t-il ? Combien ont exactement $2$ éléments ?
Exercice 7
Soit $E$ un ensemble de $50$ éléments éléments, $A$ et $B$ deux parties telles que $\text{card}(A)=28$, $\text{card }(B)=25$ et $\text{card }(A\cap B)=40$
Calculer $\text{card }(A\cup B)$, $\text{card }\left(\overline{A\cup B}\right)$ et $\text{card }(A\ B)$
B. Arbres et principe multiplicatif
Exercice 8
On lance trois fois de suite une pièce de monnaie.
1. Construire l'arbre des issues. Combien y en a-t-il ?
2. Combien d'issues comportent exactement deux « pile »?
3. Combien d'issues comportent au moins un « pile »?
Exercice 9
Un restaurant propose $4$ entrées, $3$
plats et $5$ desserts.
Combien de menus (une entrée, un plat, un dessert) peut-on composer ?
Et si l'on ajoute le choix entre $2$ boissons ?
Exercice 10
Trois routes relient la ville $A$ à la ville $B$ et quatre routes relient $B$ à la ville $C$
1. Combien de trajets de $A$ à $C$ en passant par $B$ ?
2. Combien d'aller-retour $A\rightarrow C\rightarrow A$ ?
3. Combien d'aller-retour si l'on ne doit jamais emprunter deux fois la même route ?
Exercice 11 Un code est formé de deux lettres de l'alphabet ($26$ lettres) suivies de trois chiffres.
Combien de codes si :
1. les répétitions sont permises ?
2. les deux lettres sont distinctes ?
3. les deux lettres sont distinctes et les trois chiffres sont deux à deux distincts ?
Exercice 12
On lance deux dés cubiques discernables (un rouge, un bleu).
1. Combien de couples de résultats possibles ? (On pourra utiliser un tableau à double entrée.)
2. Combien de couples donnent une somme égale à $7$ ?
3. Combien donnent une somme supérieure ou égale à $10$ ?
4. Combien donnent un produit pair ? (On pourra passer au complémentaire.)
C. p-listes, arrangements, permutations
Exercice 13
Un cadenas possède un code à $4$ chiffres. Combien de codes existe-t-il si :
1. les chiffres sont quelconques ?
2. les chiffres sont deux à deux distincts ?
3. le code commence par $7$ ?
4. le code ne contient pas le chiffre $0$ ?
Exercice 14 Un test comporte $6$ questions de type vrai/faux.
Combien y a-t-il de grilles de réponses possibles ?
Un $QCM$ comporte $5$ questions à $4$ propositions chacune (une seule choisie par question).
Combien de grilles de réponses possibles ?
Exercice 15
Soit $E$ un ensemble à $3$ éléments et $F$ un ensemble à $5$ éléments.
1. Combien d'applications de $E$ dans $F$ ?
2. Combien d'injections de $E$ dans $F$ ?
3. Combien de bijections d'un ensemble à $4$ éléments sur lui-même ?
Exercice 16 Quinze chevaux sont au départ d'une course.
Combien y a-t-il de tiercés dans l'ordre ? de quartés dans l'ordre ?
Exercice 17
On forme des mots (avec ou sans sens) en utilisant une fois chacune les lettres du mot LOUGA.
1. Combien d'anagrammes de LOUGA ?
2. Combien commencent par une voyelle ?
3. Combien commencent par L et finissent par $A$ ?
Exercice 18
Six personnes se placent en file pour une photographie.
1. De combien de façons peuvent-elles se placer ?
2. Combien de files où deux personnes données sont côte à côte ?
3. Combien de files où ces deux personnes ne sont pas côte à côte ?
Exercice 19
Huit coureurs participent à une course. On s'intéresse au podium (premier, deuxième, troisième).
1. Combien de podiums possibles ?
2. Combien de podiums où Ali gagne ?
3. Combien de podiums où Ali figure (à n'importe quelle place) ?
D. Combinaisons et binôme de Newton
Exercice 20
Calculer $C_{7}^{2}$, $C_{8}^{3}$, $C_{10}^{4}$, $C_{9}^{0}$, $C_{6}^{6}$
Vérifier que $C_{10}^{4}=C_{10}^{6}$
Exercice 21
1. Démontrer, à l'aide de la formule avec les factorielles, que $C_{n}^{p}=C_{n}^{n-p}$
2. Vérifier la relation de Pascal $C_{6}^{2}+C_{6}^{3}=C_{7}^{3}$
Exercice 22
Une classe compte $12$ garçons et $8$ filles.
On choisit un comité de $5$ élèves.
Combien de comités :
1. au total ?
2. de $3$ garçons et $2$ filles ?
3. comportant au moins une fille ?
Exercice 23 On tire simultanément $5$ cartes dans un jeu de $32$ cartes (dont $4$ as et
$4$ rois).
Combien de mains :
1. au total ?
2. contenant exactement $2$ as ?
3. ne contenant aucun roi ?
4. contenant au moins un roi ?
Exercice 24
Une urne contient $4$ boules rouges, $3$ vertes et $2$ jaunes.
On tire simultanément $3$ boules.
Combien de tirages :
1. au total ?
2. de trois boules de même couleur ?
3. d'une boule de chaque couleur ?
4. comportant exactement $2$ rouges ?
Exercice 25
Dans la même urne, on tire successivement $2$ boules.
Combien de tirages :
1. avec remise ?
2. sans remise ?
3. de deux boules rouges, avec remise ? sans remise ?
Exercice 26
Développer à l'aide de la formule du binôme :
a. $(x+1)^{55}$ ;
b. $(x-2)^{4}$ ;
c. $(2x+3)^{3}$
Exercice 27
1. Construire le triangle de Pascal jusqu'à $n=6$ et en déduire le développement de $(a+b)^{66}$
2. Calculer la somme des coefficients du développement de $(a+b)^{6}$
Quelle puissance de $2$ retrouve-t-on ?
E. Exercices de type baccalauréat
Exercice 28 (type bac) Une association compte $12$ membres :
$7$ femmes et $5$ ommes.
On forme un bureau de $4$ personnes.
1. Combien de bureaux sont possibles ?
2. Combien comportent $2$ hommes et $2$ femmes ?
3. Combien comportent au moins un homme ?
4. Combien sont composés de personnes du même sexe ?
Exercice 29 (type bac) Dans une classe de Terminale L de $45$ élèves, $28$ étudient
l'espagnol, $22$ l'arabe et $8$ ne suivent aucune de ces deux langues.
1. Combien d'élèves suivent au moins une des deux langues ?
2. Combien suivent les deux langues ?
3. Combien suivent uniquement l'espagnol ?
4. On choisit $3$ délégués parmi les $8$ élèves ne suivant aucune des deux langues.
Combien de choix ?
5. On élit un président, un secrétaire et un trésorier (trois élèves différents) parmi
les $45$ élèves.
Combien de bureaux ?
Exercice 30
(type bac) Un code est formé de $3$ lettres deux à deux distinctes choisies
parmi $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, suivies de $2$ chiffres (de $0$ à $9$, éventuellement identiques)
1. Combien de codes possibles ?
2. Combien commencent par une voyelle $(A\text{ ou }E\right)$ ?
3. Combien ont deux chiffres distincts ?
4. Combien ont deux chiffres identiques ?
3.6 Problèmes de synthèse
Problème 1 : une loterie
Dans une loterie, on tire simultanément $5$ numéros parmi les numéros de $1$ à $30$
1. Combien de tirages possibles ?
2. Combien de tirages ne contiennent aucun numéro pair ?
3. Combien de tirages contiennent exactement $2$ numéros pairs ?
4. Combien de tirages contiennent au moins un numéro pair ?
5. Si les numéros étaient tirés successivement, sans remise, et que l'ordre comptait, combien de tirages ordonnés y aurait-il ? Quel est le lien avec la réponse à la question $1$ ?
Problème 2 : parties d'un ensemble et binôme
1. Développer $(1+x)^{5}$ à l'aide du triangle de Pascal.
2. En donnant à $x$ la valeur $1$, retrouver le nombre de parties d'un ensemble à $5$
éléments.
3. En donnant à $x$ la valeur $-1$, montrer que $C_{5}^{0}+C_{5}^{2}+C_{5}^{4}=C_{5}^{1}+C_{5}^{3}+C_{5}^{5}$
4. En déduire le nombre de parties d'un ensemble à $5$ éléments ayant un nombre pair d'éléments. Vérifier par un calcul direct
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