Composition d'académie de Dakar serie S2 - 2024-2025

Exercice 1

Le plan est rapporté au repère orthonormé direct $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$

I. On appelle $T$ l'application du plan dans lui-même qui au point $M(x\;,y)$ associe le point $M'\left(x^{'}\;,y^{'}\right)$ tel que :   $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x'&=&x+y\\ y'&=&-x+y-1\end{array}\right.$

On appelle $z$ l'affixe du point $M$ et $z'$ celle de $M'$ image de $M$ par $T$
  
1. Exprimer $z'$  en fonction de $z$
                                                                                                                                                             
2. Montrer que $T$ est une similitude directe dont on précisera les éléments caractéristiques. 

3. Déterminer une équation cartésienne de la droite $\left(D'\right)$, image de  
$(D)\ :\ 2x-y+1=0$ $T$ 

II. Soient $A$ ,$B$ et $C$ les points d'affixes respectives $1+\mathrm{i}$ ; $2$ et $3+3\mathrm{i}$

1. Placer les points $A$ ,$B$ et $C$
                                                                                       

2. Démontrer que l'écriture complexe de la similitude $S$ de centre  $A$, transformant $B$ et $C$ est : 
  
3. Déterminer le rapport et l'angle de $S.$
                                                                          
4. Soit la suite de points $\left(z_{n}\right)$  définie par : $\left\lbrace\begin{array}{rcl}
z_{0}&=&2\\ z_{n+1}&=&2\mathrm{i}z_{n}+3-\mathrm{i} \end{array}\right.$ , on désigne par $A_{n}$ le 
point d'affixe $z_{n}$ pour tout entier naturel $n$

a. Placer sur la figure les points $A_{2}$  et $A_{3}$

 
b. Montrer que les points $A$ ,$A_{0}$  et $A_{2}$ sont alignés.  
                                        
5. Soit  la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{n}=A_{n}A_{n+1}$ $\text{(la longueur du segment }\left[A_{n}A_{n+1}\right])$

a. Calculer $u_{0}$ et montrer que $u_{n+1}=2u_{n}$
                                                               
b. Calculer en fonction de $n$ la somme $S_{n}=u_{0}+u_{1}+\ldots+u_{n}$ et $\lim\limits_{n\longrightarrow\;,+\infty }S_{n}$

Exercice 2

Une étude statistique montre ,que dans une ville, $10\%$ des personnes pubères sont atteintes par une maladie $M$

On choisit au hasard un couple marié dans cette ville et on désigne par :

$-A$ : l'événement <<le mari est atteint par la maladie $M$ >>

$-B$ : l'événement <<l'épouse est atteint par la maladie $M$ >>

1. On admet que les évènements $A$ et $B$ sont indépendants.

$(a)$ Donner $p(A)$ et $p(B)$

$(b)$ déterminer $p\left(A \cap B\right)$ et $p\left(A \cup  B\right)$

2. Considère les événements suivants :

$-\ M_{0}$ : <<Aucun des deux conjoints n'est atteint par la maladie $M$,

$-\ M_{1}$ : <<Un seul conjoint est atteint par la maladie $M$ >>

$-\ M_{2}$ : << Le mari et son épouse sont atteints par la maladie $M$ >>

Justifier que $p\left(M_{0}\right)=0.81$, $p\left(M_{1}\right)=0.18$, puis montrer que $p\left(M_{2}\right)=0.01$

3. Ce couple vient d'avoir un nouveau-né.

On note $E$ l'événement : << Le nouveau-né est atteint par la maladie $M$ >>

L'étude montre que la probabilité qu'un nouveau-né soit atteint par la maladie $M$ est égale à :

$-\ 0.02$ si aucun de ses parents n'est atteint par la maladie $M$,

$-\ 0.1$ si un seul de ses parents est atteint par la maladie $M$

$-\ 0.25$ si ses deux parents sont atteints par la maladie $M$

$(a)$ Déterminer $P\left(E \cap M_{2}\right)$, $P\left( E\cap M_{0}\right)$ et $P\left(E\cap M_{1}\right)$

$(b)$ En déduire que $P(E)=0.0367$

$(c)$ Calculer $M$ sachant que leur nouveau-né est atteint.

On donnera le résultat, arrondit à $10^{-4}$

4. On choisit au hasard $n$ nouveaux nés dans cette ville , où $n$ est un entier supérieur ou égal à $2$

On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de nouveaux nés atteints par la maladie $M$ parmi les $n$ nouveau nés choisis.

On suppose que $X$ suit une loi binomiale.

$(a)$ Déterminer les paramètres de $X$

$(b)$ Déterminer la probabilité $p_{n}$ qu'aucun des nouveaux nés ne soit atteint par la maladie $M$

$(c)$ Déterminer la plus grande valeur de $n$ pour que $p_{n}\geq 0.75$

Problème :

Soit la fonction $g(x)=(x-3)\mathrm{e}^{x}+1$ définit sur $]-\infty\ ;\ 0]$

1. Dresser le tableau de variation de $g$

2. Montre que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]-\infty\ ;\ 0]$, et $\alpha\in]-2\ ;\ -1[$

3. Donner une valeur approche de $\alpha$ à $10^{-1}$ près

4. En déduire le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x.$

Partie B

Soit la fonction $f\ :\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}-1}{x-2}\text{ si }w\leq 0\\
f(x)=(x+1)\ln(1+x)-2x\text{ si }x>0 \end{array}\right.$

1. Déterminer le domaine de définition $D_{f}$ de $f$

2. Calculer les limites de $f$ aux bornes de $D_{f}$, en déduire une asymptote

3. Étudier la branche infinie de $\left(C_{f}\right)$ d en $+\infty$

4. Étudier la continuité de $f$ en $0$

5. Étudier la dérivabilité de $f$ en $0$ et interpréter graphiquement les résultats obtenus.     
                                                              
6. Déterminer $f'$ sur $]-\infty\ ;\ 0[$ et montrer que $f'(x)=\dfrac{g(x)}{(x-2)^{2}}$

7. Déterminer $f'$  sur $]0\ ;\ +\infty[$
                                                                                  
8. Étudier les variations de $f$ puis dresser le tableau de variations de $f.$
           
9. Montrer que $f(\alpha)=\dfrac{1}{3-\alpha}$

10. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\beta$ sur $]0\ ;\ +\infty[$ et que  $\beta\in]3\ ;\ 4[$

11. Tracer $\left(C_{f}\right)$ dans un repère orthonormé d'unité $1\,cm$

Partie C :
    
Soit $h$ la fonction restriction de $f$ sur $]\mathrm{e}-1\ ;\ +\infty[$

1. Montrer que h réalise une bijection de $]\mathrm{e}-1\ ;\ +\infty[$ vers $J$ à préciser.
                   
2. Dresser le tableau de variations de $h^{-1}$
                                                              
3. Montrer que $\left(h^{-1}\right)'(0)=\dfrac{\beta+1}{\beta-1}$

4. Tracer $Ch^{-1}$ la courbe représentative de $h^{-1}$