1.1 Objectifs et pré-requis
Objectifs. A la fin du chapitre, l'élève sait :
$\bullet\ $Calculer $\left(g^{\circ} f\right)(x)$ pour des fonctions simples :
$\bullet\ $déterminer l'ensemble de définitions de $g^{\circ}f$ ;
$\bullet\ $décomposer une fonction en composée de deux fonctions simples ;
$\bullet\ $résoudre des équations et des inéquations faisant intervenir une composé
1. $f$ est dérivable au point $x_{0}$ si $\lim\limits_{x\longrightarrow x_{0}}\dfrac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=t\in\mathbb{R}$
Le nombre $\ell$ est appelé nombre dérivé de $f$ au point $x_{0}$ et on écrit : $\ell=f'\left(x_{0} \right)$
Pour chacun des nombres suivants, trouver le plus petit ensemble de nombres $N, Z, D, Q$ ou $R$ auquel il appartient :
a) $−18; 1,25; 7; 2π; −0,6666...; 0$.
b) $− \dfrac{28}{5} ; \dfrac{3,1416}{π} ; \dfrac{901}{53} ; \dfrac{676}{2} ; \dfrac{53}{27}$ .
c)$ 1,234567891011...; 246,81012...$
d) $−4,7×103; \dfrac{3}{2} ;\dfrac{ 1,111111... }{9}$
e) $1357,91357...; \dfrac{21}{560} ; \dfrac{2π}{5} ;\dfrac{ ( . \sqrt{7} +4)(\sqrt{7}−4)}{3} ; \dfrac{π+3}{π +1}$ .
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Fonction }&\text{Ens. de déf}&\text{Lim. en }0&\text{Lim. en }+\infty&\text{Lim en }-\infty\\ \hline x\mapsto x^{n}(n\text{ pair})&]-\infty\ ;\ +\infty[&0&+\infty&+\infty\\
Dans $]-\pi\ ;\ \pi]$
1. $x\in\left\lbrace -\dfrac{3\pi}{4}\;,-\dfrac{5\pi}{12}\;,\dfrac{\pi}{4}\;,\dfrac{7\pi}{12}\right\rbrace$
2. $x\in\left\lbrace -\dfrac{2\pi}{3}\;,-\dfrac{\pi}{2}\;,0\;,\dfrac{\pi}{6}\;,\dfrac{2\pi}{3}\;,\dfrac{5\pi}{6}\right\rbrace$
3. $x\in\left\lbrace 0\;,\dfrac{\pi}{2}\right\rbrace$
Résoudre dans l'intervalle $[0\ ;\ 2[$, puis dans l'intervalle $]-\pi\ ;\ \pi]$ les inéquations suivantes :
1. $2\cos x+1> 1$
2. $\sqrt{3}\cos x-1\leq 0$
3. $1-2\sin x\leq 0$
4. $2\sin x-\sqrt{3}< 0$
6. $\sqrt{3}\tan x-3\leq 0$
7. $4\cos^{2} x-2\left(\sqrt{2}-1\right)\cos x-\sqrt{2}> 0$
8. $4\sin^{2} x-2\left(1+\sqrt{3}\right)\sin x+\sqrt{3}\leq 0$
$\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$
$\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$
$co\tan x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$
$1+\tan^{2} x=\dfrac{1}{\cos^{2}x}$
$1+co\tan^{2}x=\dfrac{1}{\sin^{2}x}$
$\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$
$\sin (x+y)=\sin x\cos y+\cos x_sin y$
$ABC$ est un triangle du plan tel que : $AB = 4cm , AC = 5cm$ et $\cos(\overbrace{A}) =\dfrac{3}{5}$.
1. Construire le triangle $ABC$ sans chercher une valeur approchée de l’angle $\overbrace{BAC}$ et expliquer la méthode utilisée.
2. $A’$ est le milieu de $[BC]$ et $I$ est le barycentre des points pondérés $(A, 2), (B, −1)$ et $(C, 1)$
a) Démontrer que $AA’CI$ est un parallélogramme.
Considérons la fonction $f$ définie par $f(n)=\Pi_{k=2}^{n}\left(1-\dfrac{1}{k^{2}}\right)$
L'objectif de cette partie est de montrer que $\lim\limits_{n\longrightarrow +\infty}f(n)=\dfrac{1}{2}$
1. Montrer que $1-\dfrac{1}{k^{2}}=\dfrac{k^{2}-1}{k^{2}}=\dfrac{(k-1)(k+1)}{k\times k}$
2. Montrer que $\Pi_{k=2}^{n}\left(1-\dfrac{1}{k^{2}}\right)=\dfrac{(k-1)(k+1)}{k\times k}$
On considère la fonction numérique définie par : $f(x)=\dfrac{\sin x-\cos x}{\sin (2x)-\sqrt{2 \cos x}}$
1. a. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $\sin (2x)-\sqrt{2} \cos x=0$
b. Déduis $D_{f}$
2. Montre que pour tout $x\in D_{f}\;, f(x)=\dfrac{\tan x-1}{2\sin x-\sqrt{2}}$
a. Résoudre dans $[0\ ;\ 2\pi]$ l'équation $f(x)=0$