Lycée

Exercice 1(08 points)

ABC est un triangle du plan tel que : AB = 4cm , AC = 5cm et \(\cos ((\widehat{A})=\frac{3}{5}\).

Exercice 1 (3 points)

     1. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) :
    
        a. \(\sqrt{2x^{2} - 3x - 2} = 2x^{2} - 3x - 1 \) $(1~\text{pt})$
        b. \(\sqrt{x^{2} - 3x + 2} \geq x + 3      \) $(1~\text{pt})$
    
    2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) suivant les valeurs de \(m\) : 
    \[
    (m^{2} - 1)(-2x^{2} + 3x - 1) < 0 \\ (1~\text{pt})
    \]

Exercice 2 (3 points)

Exercice 1 :

On donne le polynôme $f_{m}$ défini par : $f_{m}=x^{2}+2(m-1)x+m^{2}-1$ où $m$ est un

paramètre réel.

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $f_{m}(x)=0$

2. On suppose que $m<1$

Soit $x_{1}$ et $x_{2}$ les racines de $f_{m}(x)$ avec $x_{1}<x_{2}$

Étudier la position de $-m$ par rapport à $x_{1}$ et $x_{2}$

Dans tout l'exercice, $\theta$ est un réel tel que $0<\theta <\dfrac{\pi}{2}$

On considère dans $C$ l'équation d'inconnue $z$ suivante: $$\left(E_{\theta}\right)\ :\ z^{2}-2z+\dfrac{1}{\cos^{2}\theta}=0$$

Soit $P_{\theta}$ le polynôme défini par :

$P_{0}(z)=z^{3}-\left(2+i\tan\theta\right)z^{2}+\left(1+\tan^{2}\theta+2i\tan\theta\right)z-i\tan\theta\left(1+\tan^{2}\theta\right)$

Exercice 1

Soit $P$ un polynôme à coefficients réels de degré supérieur à $2$ vérifiant, pour tout $x$ réel :

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} P(x)&=&(x-2)Q_{1}(x)-5\\ P(x)&=&(x+4)Q_{2}(x)+7 \end{array}\right.\text{ où }Q_{1}\text{ et }Q_{2}\text{sont des polynômes à coefficients réels.}$

Déterminer le reste de la division euclidienne de $P(x)$ par $x^{2}+2x-8$

Exercice 1

1. Énoncer clairement les théorèmes suivants.

a. Théorème des valeurs intermédiaires.

b. Théorème de la bijection.

c. Théorème de l'inégalité des accroissements finis $(TIAF)$

Déterminer les limites suivantes :

a. $\lim\limits_{x\longrightarrow 3}\dfrac{\sqrt{x+6}-3}{\sqrt{x+1}-2}$

Exercice 1

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes : 

A : $x^{3}+6x-7=0$ ; 

B : $\sqrt{111-x}=x-5$ ; 

C : $\sqrt{111-x^{3}-6x}=x^{3}+6x-5$

D : $\sqrt{x+2}\leq x$

2. Résoudre par la méthode de pivot de Gauss le système suivant : 

Exercice 1 :

Énoncer de manière concise et précise :

1.le théorème de Roll

2. le théorème des accroissements finis

3. le théorème des accroissements finis généralisés

4. le théorème de l'inégalité des accroissements finis

Exercice 1

Recopier et compléter :

a. Si $f$ est $\ldots\ldots$ sur un intervalle $[a\;,b]$ et s'il existe de réels $m$ et $M$ tels que $\forall x\in[a\;,b]$, $m\leq f'(x)\leq M$ alors $m(\ldots)\leq f(b)-f(a)\leq\ldots$

Exercice 1 

On considère la fonction polynôme ݂ définie pour tout réel $f$ par : $f(x)=2x^{3}-3x^{2}-1$

1. Étudier les variations de

2. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique ߙ dans $\mathbb{R}$ telle que :$ 1,6<\alpha<1.7$

3. En déduire le signe de $f(x)$ sur $\mathbb{R}$