Il sera tenu compte, pour l'évaluation des copies, de la présentation ainsi que la clarté et de la rigueur des solutions proposées.
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On considère la fonction définie par $f(x)=1+\sqrt{x+4E\left(\dfrac{x}{4}\right)}$
1. Montrer que $D_{f}=\mathbb{R}$
2. Montrer que $4$ est une période de la fonction $f$
On pose $\left(\forall x\in\mathbb{R}\right)$ ; $A(x)=\dfrac{1}{2}\sin(2x)+\sin\left(x+\dfrac{\pi}{8}\right)-\dfrac{\sqrt{2}}{4}$
1.Vérifier que $\sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right)\cdot\cos\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$
2. (a) Montrer que $\left(\forall x\in\mathbb{R}\right)$ ; $A(x)=\left(\cos x+\cos\left(\dfrac{\pi}{8}\right)\right)\left(\sin x-\sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right)\right)$
Déterminer les domaine de définitions des fonctions définies ci-dessous :
$f(x)=\dfrac{x^{2}-1}{xE(x)}$
$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{rcl} x\sqrt{\dfrac{x}{x-2}}&\text{ si }& &<&0\\ x+\sqrt{2x^{2}+x}&\text{ si }x&\geq& 0 \end{array}\right.$
Soit $a, b$ et $c$ trois réels et $P (x) = x^{3} + ax^{2} + bx + c$ un polynôme.
On suppose que $P (x)$ admet trois racines $α ,β$ et $γ$.
1. a) Développer $(α + β + γ)²$ et $(αβ + βγ + γα)² $
b) Déterminer en fonction de $x, a, b$ et $c$,le polynôme unitaire $Q(x)$ ayant pour racines $α^{2},
β^{2}$ et γ²$.
2. a) Montrer que le polynôme $Q (x²)$ peut s’écrire sous la forme :
$Q (x²) = P(x) ×R(x)$ où $R (x)$ à déterminer.
On considère la fonction numérique définie par : $f(x) = \dfrac{\sin x − \cos x}{\sin(2x) −\sqrt{2}\cos x}$
1. (a) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation :$\sin(2x) −\sqrt{2}\cos x = 0 $
(b) Déduire $D_{f} $
2. Montrer que pour tout $x \in D_{f} , f(x) = \dfrac{\tan x − 1}{2\sin x −\sqrt{2}}$
(a) Résoudre dans $[0; 2\pi]$ l’équation $f(x) = 0$
Considérons la fonction définie par $f(n) Π^{n}_{k=2} (1-\dfrac{1}{k^{2}})$.
L’objectif de cette partie est de montrer que$\lim\limits_{n \longrightarrow +\infty} f(n)=\dfrac{1}{2}$.
1. Montrer que $1-\dfrac{1}{k^{2}}=\dfrac{k^{2}-1}{k^{2}}=\dfrac{(k-1 )(k+1 )}{k\times k}$.
2. Montrer que $Π^{n}_{k=2} (1-\dfrac{1}{k^{2}})=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{n+1}{n}\right)$.
Soit $P$ le polynôme de degré $3$ dont la somme des coefficients est $-24$ tel que divisé par $x^{2}+x+1$ donne $59x-47$ comme reste et est divisible par $x-5$
1.Expliquer pourquoi $P(x)=\left(x^{2}+x+1\right)(ax+b)+59x-47$ avec $a$ et $b$ deux réels
2. Montrer que $P(x)=x^{3}-12x^{2}+47x-60$
3. En déduire la résolution de l'équation $\sqrt{x^{3}-8^{2}+15x+4}=2x-8$
1. Soit le polynôme $P(x)=x^{3}+px^{2}+qx+r$ admettant trois racines $a$, $b$, et $c$ toutes différentes de $I$, où $p$ ; $r$ sont des réels.
Exprimer le réel $N=\dfrac{1}{1-a}+\dfrac{1}{1-b}+\dfrac{1}{1-c}$ en fonction de $p$ ; $q$ et $r$
2. Soit $Q(x)$ un polynôme divisible par $(x+1)$ et par $(x-2)$ et dont le reste de la division euclidienne par $(x-1)$ est $-2$
A. Soit $P(x)=x^{4}+ax^{2}+42x+40$
1. Déterminer le réel $\alpha$ sachant que $P$ admet quatre racines dont la somme des racines est égale à la somme des deux autres.
2. Factoriser alors $P(x)0$
3. Déterminer les réels $\beta$ et $\theta$ tels que le polynôme
$Q(x)=\beta x^{4}-7x^{3}-\beta x^{2}+\theta x+6$
Soit un entier $n\geq 1$
a. Déterminer les réels $a$ et $b$ pour que le polynôme $ax^{n+1}+bx^{n}+1$ soit divisible par $(x-1)^{2}$
b. Trouver le quotient de la division.
2. Soit $P$ un polynôme tel que $\deg(P)\leq 3$