Soit $ABC$ u triangle rectangle en $C$ et en réel différent de $-2$
On considère l'application $f$ du plan $\mathbb{R}$ par : $f(M)=MA^{2}+MB^{2}+mMC^{2}$
1. Justifier l'existence du point $G_{m}$ barycentre du système : $\left\lbrace(A\;,1)\ ;\ (B\;,1)\ ;\ (C\;,m)\right\rbrace$
2. Montre que $f(M)=(2+m)MG_{m}^{2}+f\left(G_{m}\right)$
On considère l'application $f\ :\ \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\\ x\mapsto x^{2}-4x+5$
1.a Montrer que $\forall x\in\mathbb{R}\ :\ f-2-x)=f(2x+x)$
b. L'application $f$ est-elle injective ? Justifier
2.a Montrer que $\forall x\in\mathbb{R}\ :\ f(x)\geq 1$
b. L'application $f$ est surjective ? justifier
Soient $A$ et $B$ deux points d'une droite $(\Delta)$, $a$ et $b$ deux nombres réels tels que : 0 a b
1. Démontrer qu'il existe deux points $C$ et $D$ tels que $C$ soit le barycentre des points
$\left\lbrace(A\;,a)\;,(B\;,b)\right\rbrace$ et $D$ soit le barycentre des points des points
$\left\lbrace A\;,a)(B\;,-B) \right\rbrace$
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation suivante : $\sqrt{2x+1}=x+1$
2. Résoudre dans $\mathbb{R}^{3}$ le système suivantes : $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y+z&=&-19\\
16x-8y-2z&=&-58\\ x-y-z&=&11 \end{array}\right.$
3. En déduire la solution du système suivant :
a. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et l'inéquation suivantes :
a. $\sqrt{3-2x}+\sqrt{2x+5}=4$
b. $\sqrt{2x^{2}+5x-7}\geq x-1$
2. Soit $P$ un polynôme de degré $n$ avec $n\leq 3$, divisible par $(x-1)$ et ayant le même reste, le réel $r$ dans les divisions euclidiennes par $(x-2)$ ; $(x-3)$ et $(x-4)$
Déterminer l'ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes :
a. $f(x)=\sqrt{\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}}$
b. $f(x)=\sqrt{x+2-\sqrt{x^{2}-3x+1}}$
c. $f(x)=\dfrac{\sqrt{3x^{2}+1}+5x}{3x-1}$
d. $f(x)=\dfrac{\sqrt{3x^{2}+1}}{\sqrt{x^{2}+x}-\sqrt{x^{2}+1}}$
e. $f(x)=\dfrac{x-\sqrt{x^{2}-3x+1}}{2x+\sqrt{4x^{2}+x}}$
On considère une application $f\ :\ [4\ ;\ +\infty[\rightarrow\mathbb{R}^{+}\\ x\mapsto x\left(\sqrt{x}-2\right)^{2}$
1. Montrer que $\forall x\ ;\ y\in[4\ ;\ +\infty[\;,f(x)=f(y)\Rightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)^{2}=\left(\sqrt{y}-1\right)^{2}$
2. Démontrer que $f$ est injective
3. Démontrer que $f$ est bijective et déterminer sa bijection réciproque.
Soit $P$ et $q$ sont deux fonctions définis pour tout réel $x$ non par :
$P(x)=x^{6}-5x^{5}+4x^{4}-3x^{3}+4x^{2}-5x+1$
$q(x)=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^{3}-5\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^{2}+\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+7$
1. Montrer que $\dfrac{q(x)}{p(x)}=\dfrac{1}{x^{3}}$
Soit $\rho(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+bx+a$ avec $ab$ et $c$ trois réels non nuls.
1. Montrer que $O$ n'est pas racine de $\rho(x)$
2. Montrer que si $a$ est le racine alors $\dfrac{1}{a}$ l'est aussi
3. Soit $x\neq O$ on pose $y=x+\dfrac{1}{x}$
On considère l'équation $(E)$ : $(m+1)x^{2}+2mx+m-5=0$
1. Étudier, suivant les valeurs du paramètre réel $m$, l'existence et le signe des racines de $(E)$
2. Déterminer $m$ pour que $(E)$ ait deux racines $x'$ et $x''$ vérifiant $-1<x'<1<x''$
3. Trouver une relation indépendante de $m$ entre les racines de $(E)$