$ABC$ est un triangle du plan tel que : $AB=4\,cm$, $AB=4\,cm$, $AC=5\,cm$ et $\cos\left(\overbrace{A}\right)=\dfrac{3}{5}$
1. Construire le triangle $ABC$ sans chercher une valeur approché de l'angle $\overbrace{BAC}$ et expliquer le méthode utilisée
2. $A'$ est le milieu de $[BC]$ et $I$ est le barycentre des points pondérés $(A\;,2)$, $(B\;,-1)$ et $(C\;,1)$
Soit l'équation $(E)$ $(m+3)x^{2}-(3m+1)x+2m-1=0\;,m\in\mathbb{R}$
1. Discuter suivant les valeurs de $m$ l'existence et le signe des racines de $(E)$
2. Trouver tous les réels $m$ pour que notant $x_{1}$ et $x_{2}$ $\left(x_{1}< x_{2}\right)$
a. $x_{1}< -1< x_{2}$
b. $x_{1}< x_{2}< 0$
1. Soit $h$ la fonction définie par
$h\ :\ \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\\ x\rightarrow (hx)=\dfrac{5+4x^{2}}{x^{2}+1}$
a; Montrer que $h$ est une application.
b. $h$ est-elle injective ? Justifier votre réponse.
c. $h$ est-elle surjective ? Justifier votre réponse.
2. Soit
Soient $A$, $B$ et $C$ trois éléments donnés de $\mathcal{P}_{E}$
1. A quelle condition peut-on trouver des éléments $X$ de $\mathbb{P}_{E}$ tels que $A=B\cap X$ ?
2. A quelle condition peut-on trouver des éléments $Y$ de $\mathcal{P}_{E}$ tels que $A=B\cup Y$ ?
3. Montrer qu'il n'existe pas d'éléments $X$ ni d'éléments $Y$ de $\mathbb{P}_{E}$ tel que $A=B\cup X=E$ ou $A\cap Y=\theta$ ?
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes
1. $\sqrt{5x-1}+\sqrt{3-x}=2+\sqrt{2}$
2. $3x^{2}+4x+\sqrt{3x^{2}+4x+5}=7(\text{ on pourra poser }X=3x^{2}+4x)$
3. $\sqrt{4x^{2}-mx+1}=2x-m$
4. $\sqrt{x^{2}+2x+1}<2x+1$
1. Résoudre dans $ℝ$ :
a. $\sqrt{2x^{2} − 3x − 2} = 2x^{2} − 3x − 1 $
b. $\sqrt{x^{2} − 3x + 2} ≥ x + 3$
2. Résoudre dans $ℝ$ suivant les valeurs de $m: (m^{2} − 1)(−2x^{2} + 3x − 1) < 0$
On considère l’équation $(E) : (m + 1)x^{2} + 2mx + m − 5 = 0$.
1) Étudier, suivant les valeurs du paramètre réel $m$, l’existence et le signe des racines de $(E)$.
2) Déterminer m pour que $(E)$ ait deux racines $x^{'}$ et $x^{''}$ vérifiant $−1 < x^{'} < 1 < x^{''}$.
3) Trouver une relation indépendante de $m$ entre les racines de $(E)$.
4) Former l’équation du second degré ayant pour racines $(3x^{'} − 2)$ et $(3x^{''} − 2)$.
Déterminer l’ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes
a) $f(x) = \sqrt{\dfrac{\sqrt{x + 3 }− 2}{x − 1}}$
b)$f(x) =\sqrt{x-2-\sqrt{x^{2}+3x+1}}$
c)$f(x) =\dfrac{\sqrt{3x^{2} + 1} + 5x}{3x − 1}$
d)$f(x) =\dfrac{\sqrt{3x^{2} + 1}{\sqrt{x^{2}+x}}-\sqrt{x^{2}+1}} e)f(x) $
Dans le plan muni d’un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$.
On considère une application $$f : \begin{array}{rcl}
[4 ; +\infty[→ ℝ^{+}\\
x ⟼ x(\sqrt{x − 2})^{2}.
\end{array}.$$
1) Montrer que $∀ x; y \in [4; +∞[, f(x) = f(y) ⇒ (\sqrt{x }− 1)^{2} = (\sqrt{y} − 1)^{2}$.
2) Démontrer que $f$ est injective.
3) Démontrer que $f$ est bijective et déterminer sa bijection réciproque.
Soit $p$ et $q$ sont deux fonctions définis pour tout réel $x$ non nul par :
$p(x) = x^{6} − 5x^{5} + 4x^{4} − 3x^{3} + 4x^{2} − 5x + 1$
$q(x) = \left(x+\dfrac{1}{x}\right)^{3}
+ 5\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^{2} +\left(x+\dfrac{1}{x}\right) + 7$
1. Montrer que $\dfrac{q(x)}{p(x)}=\dfrac{1}{x^{3}}$ .
2. Montrer que les équations $p(x) = 0$ et $q(x) = 0$ sont équivalentes et déterminer leurs solutions communes