A. Soit $P(x)=x^{4}+ax^{2}+42x+40$
1. Déterminer le réel $\alpha$ sachant que $P$ admet quatre racines dont la somme des racines est égale à la somme des deux autres.
2. Factoriser alors $P(x)0$
3. Déterminer les réels $\beta$ et $\theta$ tels que le polynôme
$Q(x)=\beta x^{4}-7x^{3}-\beta x^{2}+\theta x+6$
Soit un entier $n\geq 1$
a. Déterminer les réels $a$ et $b$ pour que le polynôme $ax^{n+1}+bx^{n}+1$ soit divisible par $(x-1)^{2}$
b. Trouver le quotient de la division.
2. Soit $P$ un polynôme tel que $\deg(P)\leq 3$
1. Soit $h$ la fonction définie par$$h\ :\ \mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}\\ x\mapsto h(x)=\dfrac{5+4x^{2}}{x^{2}+1}$$
a. Montrer que $h$ est une application
b. $h$ est-elle injective ? Justifier votre réponse.
c. $h$ est-elle surjective ? Justifier votre réponse.
1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes :
a. $\sqrt{x^{2}-3}$
b. $\sqrt{x-1}=\sqrt{x^{2}-x-1}$
c. $\sqrt{x+2}=\sqrt{2x-5}$
d. $\sqrt{1-x}=\sqrt{1-x^{2}}\leq 0$
2. On considère le polynôme $P(x)à=x^{3}-6x^{2}+11x-6$
Calculer $P(1)$ puis résoudre dans $\mathbb{R}\;,P(x)=0$
1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes :
a. $2x^{2}-12x-5\sqrt{10+4x-x^{2}}+12=0$ ;
b. $\sqrt{x^{2}-2x-3}\geq 2x-3$ ;
c. $\sqrt{4x^{2}-1}<-4x$ ;
d. $\sqrt{x+2}=mx+1$ $(m\in\mathbb{R})$
Le montage en dérivation (parallèle) ci-dessous à une résistance$$R_{eq}=\dfrac{m+7}{2(2m-1)}\Omega \left(m\neq
\dfrac{1}{2}\right)$$
Rappel
Comment calculer la résistance dans un circuit en parallèle ?
1. Soit $P(x)$ un polynôme de degré $n$
Démontrer que si $a$ est racine de $P(x)$ alors il existe un polynôme $Q(x)$ tel que :
$P(x)=(x-a)Q(x)$ en précisant le degré du polynôme $Q(x)$
2. Soit $n$ une entier naturel non nul
a. Montrer que $P(x)=nx^{n+}-(n+1)x^{2}+1$ est divisible par $x-1$
1. Résoudre par la méthode du pivot de Gauss les systèmes suivants :
a. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+3y-2z&=&2\\ 2x-y+5z&=&15\\-3x+2y+z&=&-5 \end{array}\right.$
b. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y+z+t&=&0\\ 2x-y-3z-t&=&19\\ x-y+z+2t&=&1\\ -3x+2y-2z-3t&=&0
\end{array}\right.$
1. On se propose de calculer la somme $S_{n}=\Sigma_{k=1}^{n}k(n-k)$ en fonction de $n$
a. Démontrer par récurrence que $\Sigma_{k=1}^{n}k^{2}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
b. En remarquant que $T_{n}=\sigma_{k=1}k=\dfrac{n(n+1)}{2}$, montrer que : $S_{n}=\dfrac{(n-1)}{3}\times T_{n}$
2. Démontrer que récurrence la propriété : $\left(P_{n}\right)_{n\geq 5}\ :\ 2^{2}>(n+1)$
I. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations irrationnelles suivantes
a. $\sqrt{3x^{2}+x+3}=\sqrt{x^{2}+2x}$
b. $\sqrt{2\left(x^{2}-2x+2\right)}\geq x+1$
2. On considère le polynôme $P(x)=x^{3}-6x^{2}+11x-6$
a. Calculer $P(I)$
b. Résoudre dans $\mathbb{R}$, l'équation $P(x)=0$