1. Énoncer clairement les théorèmes suivants.
a. Théorème des valeurs intermédiaires.
b. Théorème de la bijection.
c. Théorème de l'inégalité des accroissements finis $(TIAF)$
Déterminer les limites suivantes :
a. $\lim\limits_{x\longrightarrow 3}\dfrac{\sqrt{x+6}-3}{\sqrt{x+1}-2}$
1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes :
A : $x^{3}+6x-7=0$ ;
B : $\sqrt{111-x}=x-5$ ;
C : $\sqrt{111-x^{3}-6x}=x^{3}+6x-5$
D : $\sqrt{x+2}\leq x$
2. Résoudre par la méthode de pivot de Gauss le système suivant :
Énoncer de manière concise et précise :
1.le théorème de Roll
2. le théorème des accroissements finis
3. le théorème des accroissements finis généralisés
4. le théorème de l'inégalité des accroissements finis
a. Si $f$ est $\ldots\ldots$ sur un intervalle $[a\;,b]$ et s'il existe de réels $m$ et $M$ tels que $\forall x\in[a\;,b]$, $m\leq f'(x)\leq M$ alors $m(\ldots)\leq f(b)-f(a)\leq\ldots$
On considère la fonction polynôme ݂ définie pour tout réel $f$ par : $f(x)=2x^{3}-3x^{2}-1$
1. Étudier les variations de
2. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique ߙ dans $\mathbb{R}$ telle que :$ 1,6<\alpha<1.7$
3. En déduire le signe de $f(x)$ sur $\mathbb{R}$
Sur les traces du village d'origine d'Omar Ibn Said
L'histoire d'Omar Ibn Said est une histoire fascinante qui continue de faire
couler beaucoup d'encre en Afrique et aux États-Unis.
Omar Ibn Said né au Fouta Toro (Sénégal) vers $1770$, il fut capturé et vendu à
l'age de $37$ ans comme esclave à Charleston (Caroline du Sud- États-Unis).
1. Simplifier l'expression suivante :
A : $\dfrac{\left(3^{2}\times 7^{5}\right)^{-3}}{\left(7^{2}\times 3^{-3}\right)^{2}}\times \left[\dfrac{(7\times 3)^{2})^{2}}{3^{2}\times 7}\right]^{3}$
2. Soit $p$ et $q$ deux réels, démontrer que : $\left(p^{2}q^{3}+p^{3}q^{2}\right)^{2}=p^{4}q^{4}(p+q)^{2}$
1. $(x-2)-5\sqrt{x-2}+6=0$
2. $\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^{2}-3\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+2=0$
3. $x^{2}-4x+4\leq 0$
4. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x^{2}+y^{2}&=&25\\ xy&=&12\end{array}\right.$
5. $\dfrac{x^{2}-5x+4}{x^{2}+3x+21}\geq 0$
1. Donner les identités remarquables suivantes :
$(a+b)^{3}$, $a^{3}+b^{3}$, $(a+b+c)^{2}$
2. Recopier en complétant.
a. Si $x$ et $y$ sont deux réels tels que $y\geq 0$ et $x<0$ alors $\sqrt{x^{2}y}=\ldots\ldots\ldots$
b. La distance entre deux réels $x$ et $y$ notée $d(x\;,d)$ est définie par $d(x\;,y)=\ldots\ldots$
Résoudre dans $\mathbb{R}$ et
point:
b :
e :
Les parties de même $s$ que les questions sont indépendantes
Partie A
On considère la relation