I. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :
1. $-2x^{2}-5x+7=0$ ;
2. $4x^{2}-1112x+9=0$ ;
3. $-5x^{2}-5x-2=0$
2. Soit l'équation $(E)$ : $x^{2}+x-2=0$
a. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $(E)$
b. En déduire les solutions des équations :
$\surd x^{4}+x^{2}-2=0$
1. Recopier et compléter chacun des énoncés ci-dessous pour avoir une proposition vraie
a. $(t+x)^{3}=\ldots$
b. Si $a$ et $b$ sont nombres réels alors $|a+b|\ldots |a|+|b|$
c. Le nombre $\left|-\sqrt{3}+\sqrt{2}\right|$ a pour valeur: $\ldots\ldots$
d. Soit $x$ et $y$ deux réels.
On a $d(x\ ;\ y)=|\ldots\ldots|$
A On donne le nombre complexe $u=3+3i$
1. Mettre $u$ sous forme exponentielle.
2. Montrer que $u^{3}=-54+54i$
3. a. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^{3}=1$ (on donnera les solutions sous forme exponentielle).
On précise que les questions sont indépendantes.
1. Trouver toutes les paires d'entiers naturels non nuls $a$ et $b$ tels que : $\left\lbrace\begin{array}{rcl}
PPCM(a\;,b)&=&3PGCD(a\;,b)&=&276\\ 10&<&PGCD(a\;,b)&<&30 \end{array}\right.$
Soient $p$ et $q$ deux nombres premiers vérifiant : $9^{p+q-1}\equiv 1[pq]$ et $p<q$
1. a Montrer que $p$ et $9$ sont premiers entre eux.
b. En déduire que $9^{p-1}\equiv 1[p]$ et $9^{q}\equiv 1[p]$
Soit l'équation $(E)\ :\ z^{3}+(1-8i)z^{2}-(23+4i)z-3+24i=0$
1.a. Montre que $3i$ est une solution de $(E)$
b. Résoudre dans $C$ l'équation $(E)$
2. dans le plan rapporté a un repère orthonormé on considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $1+2i\;,3i$ et $-2+3i$
soit $D$ le barycentre des points pondéré $(A\;,1)$, $(B\;,-1)$ et $(C\;,1)$