Composition du second semestre TS1 - 2024-2025

Exercice 1

1. 1. On considère deux entiers naturels $a$ et $b$ tel que : $a+b=23$

a. Montrer que $a$ et $b$ sont premiers entre eux
 
b. En déduire $a$ et $b$ sachant que $a< b$  et $PPMC(a\;,b)=126$

2. Résoudre dans $Z^{2}$ l'équation $9u-14v=1$                                  

3. Résoudre $(S)\ :\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} x&\equiv&4[9]\\ x&\equiv&5[14] \end{array}\right.$

II. 1. Soit $P$ un nombre premier impair. 

On considère dans $\mathbb{Z}$ l'équation $(E)\ :\ x^{2}\equiv 2[p]$

a. Montrer que $2^{p^{-1}}\equiv 1[p]$

                                       
b. En déduire que : $2^{\dfrac{p-1}{2}}\equiv 1[p]$ ou $2^{\dfrac{p-1}{2}}\equiv -1[p]$
              
2. Soit $x$ une solution de l'équation 

a. Montrer que $x$ et $p$ sont premiers entre eux   
                                  
b. En déduire que : $2^{\dfrac{p-1}{2}}\equiv 1[p]$ (On pourra utiliser le petit théorème de Fermat) 

3. Montrer que pour tout $k\in\lbrace 1\;,2\;,\ldots\;,p-1\rbrace$ $p$ divise $C_{p}^{k}$                 

Rappelle $\forall k\in\lbrace 1\;,2\;,\ldots\;,p-1\rbrace C_{p}^{k}=\dfrac{p!}{k!(n-k)!}$ et que $kC_{p}^{k}=pC_{p-1}^{k-1}$

4) En utilisant la formule de Moivre, montrer que : $(1+i)^{p}=2^{\dfrac{p}{2}}\cos\left(p\dfrac{\pi}{4}\right)+i2^{\dfrac{p}{2}}\sin\left(p\dfrac{\pi}{4}\right)$

5. On admet que 

$(1+i)^{p}=\sum_{k=0}^{k=\dfrac{p-1}{2}}(-1)^{4}C_{p}^{2k}+i\sum_{k=0}^{k=\dfrac{p-1}{2}}(-1)^{k}C_{p}^{2k+1}$
 
a. Montrer que : $2^{\dfrac{p}{2}\cos}\left(P\dfrac{\pi}{4}\right)\in Z$ et

$2^\dfrac{P}{2}\cos\left(P\dfrac{\pi}{4}\right)\equiv 1[P]$

$\text{(On pourra utiliser la question }3)$
 
b. En déduire que si $P\equiv 5[8]$ alors l'équation $(E)$ n'admet pas de solution dans $\mathbb{Z}$ 
 
Exercice 2

L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct. 

Soit $A\begin{pmatrix} -1\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}$ ; $B\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 0 \end{pmatrix}$

1. Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{OA}\wedge\overrightarrow{OB}$
 
2. Démontrer que les points $O$, $A$, $B$ et $C$ sont non coplanaires puis calculer le volume $V$ du tétraèdre $OABC$
                                             
3. Soit $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur le plan $(OAB)$

a. Montrer que $HC=\sqrt{3}$

b. Monter que $x+y-z=0$ est une équation cartésienne du plan $(OAB)$ 
  
4. Soit $(\mathbb{P}$ le plan passant par $B$ et $C$ et perpendiculaire à $(OAB)$
 
a. Montrer que $2x-y+z-3=0$ est une équation cartésienne de $(P)$ 
 
b. Donner une représentation paramétrique de la droite $(\Delta)=(\mathbb{P})\cap(OAB)$
  
5. Soit $M\begin{pmatrix} 2\\ 1\\ \cos t\end{pmatrix}\ ;\ t\in\left[-\dfrac{\pi}{2}\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right[$ ; on pose $d_{1}=d(M\ ;\ (OAB))$ et $d=d(M\ ;\ (\Delta))$

a. Vérifier que  $d_{1}=\dfrac{3-\cos t}{\sqrt{3}}$
   
b. Montrer que $d^{2}=\dfrac{\cos^{2}t-4\cos t+6}{2}$

c. Déterminer la valeur de $t$ pour la quelle la distance $d$ est minimale.
 
Problème :

Pour tout entier $1\geq 1$, on note $f_{n}$ la fonction définie sur $[0\ ;\ +\infty[$ par $f_{n}(x)=\dfrac{x^{n}\mathrm{e}^{-x}}{n!}$ $$\left(C_{n}\right)$ est la courbe représentative de  $f_{n}$ dans un repère orthonormé $\left(O\ ;\ \vec{i}\ ;\ \vec{j}\right)$, $(\text{avec }\left|\left|\vec{i}\right|\right|=2\,cm\text{ et }\left|\left|\vec{j}\right|\right|=10\,cm)$
 
Partie A : 

1. a. Étudier les variations de $f_{n}$ sur $[0\ ;\ +\infty[$

b. Pour $2\geq 2$, étudier la position relative de $\left(C_{n}\right)$ et de $\left(C_{n-1}\right)$ et vérifier que le point $A_{n}\left( n\ ;\ f_{n}(n)\right)$ de $\left(C_{n}\right)$ est aussi sur $\left(C_{n-1}\right)$
 
2. Construisez sur un même graphique les courbes $\left(C_{1}\right)$, $\left(C_{2}\right)$ et $\left(C_{3}\right)$
 
Partie B : 

1. Soit $\left(U_{n}\right)$ la suite définie par : $U_{n}=f_{n}(n)$ pour tout $1\geq 1$

En utilisant les résultats de la partie $A.$, montrer que $\left(U_{n}\right)$ est décroissante.
 
2. Soit $g$ la fonction définie sur $[0\ ;\ 1] $  par $g(t)=\ln(1+t)-t+\dfrac{t^{2}}{4}$

a. Montrer que pour tout $t$ de $[0\ ;\ 1]$, $\ln(1+t)\leq t-\dfrac{t^{2}}{4}$

b. Déduisez en que, pour tout entier $n\geq 1$, $\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}\leq\mathrm{e}^{1-\dfrac{1}{4n}}$

3. a. Montrer que pour tout $n\geq 1$, $\dfrac{U_{n+1}}{U_{n}}\leq\mathrm{e}^{-\dfrac{1}{4n}}$

b. Déduisez en que, pour tout $n$, $n\geq 2$ $U_{n}\leq\mathrm{e}^{1-\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{n-1}+\dfrac{1}{n-2}+\ldots+\dfrac{1}{2}+1\right)}$

4.  a. Démontrer que pour tout $n\geq 2\int_{1}^{n}\dfrac{dt}{t}\leq+1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\ldots+\dfrac{1}{n-2}+\dfrac{1}{n-1}$
 
b. Déduisez en que, pour tout $n\geq 1$ Quelle est la limite de la suite $\left(U_{n}\right)$ ?
 
Partie $C$ : 

Soit $\alpha$ un réel positif fixé. 

Pour tout entier $n\geq 1$ , on pose : $I_{n}(a)=\int_{0}^{a}\dfrac{t^{n\mathrm{e}^{-1}}}{n!}dt$

1. Calculer $I_{1}(a)$

2. a Montrer que pour $n\geq 1$, pour tout $t\geq 0$, $0\leq f_{n}(t)\leq \dfrac{t^{n}}{n!}$

b. Déduisez en un encadrement de $I_{n}(a)$

3. Montrer que pour $n\geq 1$, $\dfrac{1}{n!}<\left(\dfrac{\mathrm{e}}{n}\right)^{n}$

Donner alors une nouvelle majoration de $I_{n}(a)$, puis la limite 
de $I_{n}(a)$ quand n tend vers $+\infty$
 
4. a. Trouver lorsque, $n\geq 2$ une relation entre $I_{n}(a)$ et $I_{n-1}(a)$ et déduisez en que pour tout  
$n\geq 2$

$I_{n}(a)=1-\mathrm{e}^{-a}\left(1+\dfrac{a}{1!}+\dfrac{a^{2}}{a!}+\ldots+\dfrac{a^{n}}{n!}\right)$

b. L'égalité précédente est-elle valable pour $n=1$ ?
 
5. Démontrer que pour tout $a\in|0\ ;\ +\infty[$ on a : $\mathrm{e}^{a}=\lim\limits_{n\longrightarrow\,+\infty}\left(1+\dfrac{a}{1!}+\dfrac{a^{2}}{2!}+\ldots+\dfrac{a^{n}}{n!}\right)$