Composition du second semestre - TS2 2024-2025

Exercice 1

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $\left(O\;,\vec{u}\;,\vec{v}\right)$

1.a. Calculer le module et un argument de $1+i\sqrt{3}$

b. En déduire la forme algébrique de : $\left(1+i\sqrt{3}\right)$
                
 
2. On considère le polynôme $P$ défini par :  

$$P(z)\ :\ z^{3}-(2-5i)z^{2}+(-5+3i)z-14+2i$$
 
a. Calculer $p(-2i)$ puis déterminer les nombres complexes $b$ et $c$ tels que :                                     $P(z)=(z+2i)\left(z^{2}+bz+c\right)$

b. Achever la résolution dans $\mathbb{C}$ de l'équation $P(z)=0$

3. On considère les points $A$, $B$, $C$ et $D$ d'affixes respectives : $-2i\ ;\ 3-i\ ;\ 2+2i\ ;\ \text{et }-1+i$

a. Placer les points $A$, $B$, $C$ et $D$ dans le repère            

b. Déterminer la forme trigonométrique du nombre complexe $\dfrac{z_{A}-z_{B}}{z_{C}-z_{B}}$

c. En déduire la nature du triangle $ABC$              

d. Montrer que $A    $, $B$, $C$ et $D$ sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon          
 
4. Soit $f$ la similitude directe qui laisse invariant le point $B$ et qui transforme de $A$ en $C$

a. Donner l'écriture complexe de $f$

b. Préciser la nature et les éléments caractéristiques de la similitude directe $f$
 
Exercice 2        

Moussa s'amuse régulièrement sur un terrain de football avec un gardien de but.

L'épreuve consiste à effectuer deux tirs au but.

On admet que :

$\bullet\ $La probabilité que Moussa réussisse le premier tir au but est de $0.7$
 
$\bullet\ $S'il réussit le premier tir, alors la probabilité de réussir le second est de $0.8$
 
$\bullet\ $S'il manque le premier tir, la probabilité de réussir le second est de $0.4$
 
A l'aide des informations ci-dessus et des outils mathématiques au programme :
 
1. Démontrer que la probabilité que Moussa réussisse les deux tirs est de $0.56$       

2. Calculer la probabilité pour que le second tir au but soit réussi                           

3. Déterminer la probabilité que Moussa réussisse exactement un tir au but.
          
4. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de tirs réussis
 
a. Justifier que $X$ prend les valeurs $0$ ; $1$ et $2$
                
b. Déterminer la loi de probabilité de $X$
                        
c. Calculer son espérance mathématique, la variance et son écart-type
 
 
Problème :
 
Partie A : Soit l'équation différentielle $(E)$ : $y"+3y'+2y=0$

Déterminer la solution $g$ de $(E)$ dont la courbe représentative $(C)$ passe par le point $A50\ ;\ 1)$ et dont la tangente en ce point est parallèle à l'axe des abscisses.

Partie B : On considère la fonction $g$ définie sur $]-\infty\ ;\ 1[$ : par $g(x)=\dfrac{x}{1-x}-\ln(1-x)$

1. Étudier les variations de $g$ et dresser son tableau de variation.

2. Calculer $g(0)$ puis en déduire le signe de
$g(x)$

Partie C :

Soit $f$ la fonction définie par : $f(x)=\left\lbrace\begin{array}{rcl}\sqrt{1-x\ln(1-x)}&\text{si }x<0\\
2\mathrm{e}^{-x}-\mathrm{e}^{-2x}&\text{si }x\geq 0\end{array}\right.$
 
1.a.  Justifier que pour tout $x\in]-\infty\ ;\ 0[$ , on a : $1-x\ln(1-x)\geq 1$

b. Justifier que $f$ est définie sur $\mathbb{R}$
                                                    
2.a. Étudier la continuité de $f$ en $0$                                                      

b.   Montrer que : $2\mathrm{e}^{-x}-\mathrm{e}^{-2x}-1=\left(1-\mathrm{e}^{-x}\right)\left(\mathrm{e}^{-x}-1\right)$

c. Étudier la dérivabilité de $f$ en $0$ puis interpréter les résultats.
   
3. Calculer les limites aux bornes de $D_{f}$                                                     

4. Étudier la nature des branches infinies.                                                   

5.a. Montrer que pour tout $x\in]-\infty\ ;\ 0[\;,f'(x)=\dfrac{g(x)}{2\sqrt{1-x\ln(1-x)}}$                  

b.  Calculer la dérivée de $f$ pour tout $x\in[0\ ;\ +\infty[$

c.  Dresser le tableau de variation de $f.$
                                                       
6. Tracer la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé :

7. Soit $h$ la restriction de $f$ sur l'intervalle $I=[0\ ;\ +\infty[$

a.  Montrer que $h$ est une bijection de $I$ vers un intervalle $J$ à préciser.
 
b.  Calculer $h=(\ln 2)$

La fonction $h^{-1}$ est-elle dérivable en $\dfrac{3}{4}$ ?
 
Si oui calculer $\left(h^{-1}\right)'\left(\dfrac{3}{4}\right)$

8) a.  Soit $\alpha$ un strictement positif.

Calculer en fonction de $\alpha$ l'aire $A(\alpha)$ de la partie du plan délimitée par l'axe des abscisses, la droite d'équation $x=\alpha$, l'axe des ordonnées et la courbe représentative de $f$

b.  Calculer $\lim\limits_{\alpha+\infty}A(\alpha)$