Compositions harmonises du second semestre TS1 - 2024-2025
Exercice 1
Partie 1 :
1.a. Déterminer à l'aide de l'algorithme d'Euclide, deux entiers $a$ et $b$ tels que $31a+13b=1$
b. Déduire l'entier, inverse de $13$ modulo $31$ compris entre $1$ et $30$
2. On donne dans $Z\times Z$, l'équation $(E)\ :\ 31x-13y=2$
a. Justifier que $(E)$ admet des solutions dans $Z\times Z$
b. Montrer que si $(x\;,x)$ est solution de $(E)$ alors $y\equiv 7[31]$
c. En déduire l'ensemble des solutions dans $Z\times Z$ de l'équation $(E)$
2. Quel est le plus petit entier $n_{0}\geq 10^{4}$, solution du système $(S)\ :\ \left\lbrace\begin{array}{rcl}
n\equiv 9[13]\\ n\equiv 7[31] \end{array}\right.$
Partie 2 :
On considère les deux suites arithmétiques $U$ et $V$ définies sur $N$ par : $\left\lbrace\begin{array}{rcl}
U_{0}&=&2022\\ n_{n+1}&=&U_{n}+31 \end{array}\right.$ et $\left\lbrace\begin{array}{rcl} V_{0}&=&2024\\ V_{n+1}&=&V_{n}+13 \end{array}\right.$
1.a. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que : $\dfrac{1}{U_{k}U_{k+1}}=\dfrac{a}{U_{k}}+\dfrac{b}{U_{k+1}}$
b. En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a : $\sum_{k=0}^{n}=0\dfrac{1}{U_{k}U_{k+1}}=\dfrac{n+1}{U_{0}U_{n+1}}$
2.a. Déterminer l'entier $P$, vérifiant : $2V_{p}-U_{p}=1$, et déduire $pgdc\left(U_{p}\;,V_{p}\right)$
b. Déterminer tous les couples $(p\;,q)$ d'entiers naturels compris entre $803$ et $2023$ tels que $U_{p}=V_{q}$
3. Dans le plan muni d'un repère orthonormé $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$, on considère les deux points $A(-23\ ;\ -55)$ et $B(16\;,38)$
Déterminer tous les points $M$ de coordonnées $(x\;,y)$ entières situés sur le segment $[AB]$ privé de $A$ et $B$
Exercice 2 :
M. Pouye veut construire une piscine près du mur de son jardin non loin d'une pompe à eau.
Par soucis d'espace, il veut que la distance de chaque position du bord de la piscine à la pompe soit la moitié de la distance de ce bord au mur de la maison.
Il parle de son projet à un ami, M. Gassama professeur de mathématiques, qui décide de lui donner un coup de main.
Ce dernier, après observation de la situation, définit un repère orthonormé $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$, d'unité $2\,m$ dans le
jardin, considère la position de la pompe à eau comme un point $F$ et le mur comme une droite $(D)$
Après quelques calculs il réalise que les coordonnées des points du bord de la piscine vérifient la relation suivante :
$3x^{2}+4y^{2}+6x-9=0$ et l'aire qu'occupera la piscine est égale à $2\sqrt{3}\int_{0}^{2}\sqrt{1-t^{2}dt}$ en unités d'aire.
Il remet, sans résoudre, les résultats de son analyse à M Pouye.
En utilisant vos connaissances mathématiques, aider M Pouye à représenter le schéma de la piscine et à calculer l'aire de la piscine. $\text{(Prendre échelle schéma }\dfrac{1}{100})$
Problème :
I. Soit la fonction f définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{2}{\mathrm{e}+\mathrm{e}^{-x}}$
et soit $C$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$
1. a. Étudier les variations de la fonction $f.$
En déduire que pour tout réel $x$ on a : $0<f(x)\leq 1$
b. Tracer la courbe $C$
2. On considère la fonction $g$ définie sur $\left]0\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right[$ par $g(x)=\ln (\tan x)$
Montrer que $g$ est dérivable sur $\left]0\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right[$ et calculer $g'(x)$ pour tout $x\in\left]0\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right[$
Montrer que $g$ admet une bijection réciproque $h$ définie sur $\mathbb{R}$ Calculer $h(0)$
Montrer que $h$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et que pour tout $x$ de $\mathbb{R}h'(x)=\dfrac{1}{2}f(x)$
En déduire que pour tout $x$ de $\mathbb{R}\int_{0}^{x}f(t)dt=2\,h(x)-\dfrac{\pi}{2}$
II. Soit n un entier naturel non nul et $F_{n}$ la fonction définie sur $[0\;,+\infty[$ par $F_{n}(x)=\int_{0}^{x}f^{n}(t)dt$
1. a. Calculer $F_{1}(x)$ en fonction de $h(x)$ et montrer que $\lim\limits_{x\longrightarrow\,+\infty}F_{1}(x)=\dfrac{\pi}{2}$
b. Soit $K$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $K(t)=\dfrac{\mathrm{e}^{t}-\mathrm{e}^{-t}}{\mathrm{e}^{t}+\mathrm{e}^{-t}}$
Montrer que $K'(t)=f^{2}(t)$
Calculer alors $F_{2}$ et montrer que $\lim\limits_{x\longrightarrow\,+\infty}F_{2}(x)=1$
2.a. Montrer que l'image de l'intervalle $[0\ ;\ +\infty[$ par $F_{n}$ est $_\left[0\ ; \lim\limits_{x\longrightarrow\;,+\infty}F_{n}(x)\right[$
b. Vérifier que pour tout réel $t$ positif ou nul on a : $f(t)<2\mathrm{e}^{-t}$
En déduire, en utilisant $I.1.a$, que pour tout réel $x$ de $[0\;,+\infty[$ on a $F_{n}(x)\leq 2$ et $F_{n}(x)$ est finie
c. Vérifier que pour tout réel positif ou nul on a : $f(t)\geq\mathrm{e}^{-t}$
Montrer alors que pour tout réel positif on a : $\dfrac{1-\mathrm{e}^{-nx}}{n}\leq F_{n}(x)$ et en déduire que ) $\lim\limits_{x\longrightarrow\,+\infty}F_{n}(x)$ est non nulle.
3. Soit la suite $\left(U_{n}\right)$ définie sur $N^{\ast}$ par $u_{n}=\lim\limits_{x\longrightarrow\;,+\infty}F_{n}(x)$
a. Donner la valeur de $u_{1}$ et $u_{2}$
b. En remarquant que $4-\left(\mathrm{e}^{t}+\mathrm{e}^{-t}\right)^{2}=-\left(\mathrm{e}^{t}-\mathrm{e}^{-t}\right)^{2}$, montrer que pour tout $n$ de $N^{\ast}$ et pour tout réel $t$ de $[0\;,+\infty[$ on a : $f^{n-1}(t)f'(t)K(t)=f^{n+2}(t)-f^{n}(t)$
c. A l'aide d'une intégration par parties, montrer que pour tout $n$ de $N^{\ast}$ et tout $x$ de $[0\;,+\infty[$ on a :
$\int_{0}^{x}f^{n-1}f'(t)K(t)dt=\dfrac{1}{n}K(t)=f^{n+2}(t)-f^{n}(x)-\int_{0}^{x}f^{n+2}(t)dt$
d. En déduire que pour tout $n$ de $N^{\ast}$ et tout $x$ de $[0\;,+\infty[$ on a : $(n+1)F_{n+2}(x)-nF_{n}(x)=K(x)f^{n}(x)$
Montrer alors que : $u_{n+2}=\dfrac{n}{n+1}u_{n}$
4. a. Soit $n$ un entier naturel non nul.
Déterminer, en fonction de $n$ les deux termes $u_{2n+1}$ et $u_{2n+2}$
b. Montrer que la suite $\left(U_{n}\right)$ est décroissante.
c. Montrer que pour tout $n$ de $N$ on a :
$\dfrac{2n}{2n+1}\leq\dfrac{U_{2N+2}}{U_{2n+1}}\leq 1$
En déduire la limite de $\dfrac{U_{2n+2}}{U_{2n+1}}$
d. Montrer alors que : $\lim\limits_{n\longrightarrow +\infty}\left[\left(\dfrac{2\times 4\times 6\times \ldots(2n)}{1\times 3\times 5\ldots(2n-1)}\right)^{2}\times\dfrac{2}{2n+1}\right]=\pi$
Ajouter un commentaire