Exercice 1 :

On considère la fonction numérique définie par : $f(x) = \dfrac{\sin x − \cos x}{\sin(2x) −\sqrt{2}\cos x}$

1. (a) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation :$\sin(2x) −\sqrt{2}\cos x = 0 $

(b) Déduire $D_{f} $

2. Montrer que pour tout $x \in D_{f} , f(x) = \dfrac{\tan x − 1}{2\sin x −\sqrt{2}}$

(a) Résoudre dans $[0; 2\pi]$ l’équation $f(x) = 0$ 

(b) Résoudre dans $[0; 2\pi]$ le systeme suivant
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl}
\tan x − 1& >& 0\\
2\sin x −\sqrt{2}& >& 0
\end{array}\right.$$

Exercice 2 

Soit $ABC$ un triangle tel que $AB = 4a, AC = 3a$ et $BC = 5a$ avec $a > 0$.

Soit $I$ milieu de $[BC]$.

1. Préciser la nature du triangle $ABC$.

2. Soit $g $l’application définie par $g(M) = −2MA^{2} +MB^{2} +MC^{2}$, pour tout point$M$ du plan.

(a) Montrer que $g(M) = 4\vec{MA}.\vec{AI} + AB^{2} + AC^{2}$.

(b) Déterminer et représenter l’ensemble $(\Delta)$ des points $M$ du plan tels que $g(M) = 25a^{2}$.

3. Soit $f$ l’application définie par $f(M) = −MA^{2} +MB^{2} +MC^{2}$, pour tout point $M $du plan
et $G$ le barycentre des points pondérés $(A;−1), (B; 1) et (C; 1)$.

(a) Montrer que $G$ appartient à la médiane issue de $A$ du triangle $ABC$.

(b) Montrer que $f(M) = MG^{2} + f(G)$.

(c) Calculer $f(A)$.

(d) Montrer que $f(G) = 0$.

(e) Déterminer et représenter l’ensemble $(C)$ des points $M$ du plan tels que $f(M) = 25a^{2}$.

(f) Vérifier que $A$ appartient à $(C)$.

4. Montrer que $(Delta)$ et $(C)$ sont tangents au point $A$.

Exercice 3 :

On considère $f$ définie par : $$\begin{array}{rcl}
f : [0;+\infty[ &\longrightarrow &] − 1; 1]\\
x& \mapsto& f(x) = \dfrac{2 −\sqrt{x}}{2 + \sqrt{x}}
\end{array}.$$

1. Justifier que $f$ est une application. 

2. Montrer que $f$ est bijective . 

3. Donner l’expression de $f{−1}(x)$ en déduire $f^{−1}(0)$