Chapitre 1 composition des applications - TL

1.1 Objectifs et pré-requis

Objectifs. A la fin du chapitre, l'élève sait : 

$\bullet\ $Calculer $\left(g^{\circ} f\right)(x)$ pour des fonctions simples :

$\bullet\ $déterminer l'ensemble de définitions de $g^{\circ}f$ ; 

$\bullet\ $décomposer une fonction en composée de deux fonctions simples ;

$\bullet\ $résoudre des équations et des inéquations faisant intervenir une composé

Pré-requis.Image d'un réel, ensemble de définition, fonctions affines, $x\rightarrow x^{2}$, $x\rightarrow \dfrac{1}{x}$, $x\rightarrow \sqrt{x}$, $x\rightarrow |x|$
équations et inéquations du premier et du second degré tableaux de signes

1.2 cours 

1.21 Rappels :  ensembles de définition usuels
$$\begin{array}{|c|c|}\hline \text{Expression de }f(x)&\text{Condition d’existence}\\ \hline
\text{Polynôme }&\text{aucune :}\mathbb{D}_{f}=\mathbb{R}\\ \hline \dfrac{u(x)}{v(x)}&v(x)=\neq 0\\
\hline \sqrt{u(x)}&u(x)\geq 0\\ \hline |u(x)|&\text{celle de }u(x)\\ \hline \end{array}$$

1.2.2 Définition de la composée

Définition

Soit $f$ une fonction de domaine $\mathbb{D}_{f}$ et $g$ une fonction de domaine $\mathbb{D}_{g}$ La composée de $f$ suivie de $g$, notée $g^{\circ}f $(lire « $g$ rond $f$ »), est la fonction définie par :
$$\left(g\circ f\right)(x)=g(f(x))$$

On calcule d'abord $f(x)$, puis on applique $g$ à ce résultat. 

La notation se lit de droite à gauche.

1.2.3 Ensemble de définition de $g\circ f$

Propriété

$\mathbb{D}_{g\circ}f=\left\lbrace x\in \mathbb{D}_{f}\text{ tels que }f(x)\in\mathbb{D}_{g}\right\rbrace$

Il faut donc deux conditions : $x$ doit appartenir au domaine de $f$, et $f(x)$ doit appartenir au domaine de $g$

1.2.4 Propriétés

Propriété p1 (non commutativité)

En général, $g\circ f\neq f\circ g$

Démonstration

Contre-exemple : avec $f(x)=x+1$ et $g(x)=x^{2}$, on a $f(x)=(x+1)^{2}$ et $\left(f\circ g)(x)=x^{2}+1\right)$

Pour $x=1$, on obtient $4$ et $2$, donc $g\circ f\neq f\circ g$

Propriété  P2 (associativité)

Pour trois fonctions $f$, $g$, $h$ : $\left(h\circ g\right)\circ f=h\circ(g\circ g)$, que l'on ,note $h\circ g\circ f$

Démonstration. Les deux membres valent $h(g(f(x)))$

Propriété $P3)$ (composée de deux fonctions affines)

Si $f(x)=ax+b$ et $g(x)=cx+d$, alors $g^{\circ} f$ est affine : $\left(g\circ f\right)(x)=(c\alpha)x+(cb+d)$

Démonstration. $g(f(x))=c(aax+b)+d=cax+cb+d$

Propriété p4 (parité)

Si $f$ est paire, alors $g\circ f$ est paire.

Démonstration. Si $x\in\mathbb{D}_{g\circ f}$, alors $-x\in\mathbb{D}_{f}$ 

$(f\text{ est paire }$ et $f(-x)=f(x)\in\mathbb{D}_{y}$, donc $-x\in\mathbb{D}_{g\circ f}$

De plus $(g\circ f)(-x)=g(f(-x))=g(f(x))=\left(g\circ f)(x)\right)$

1.2.5 Méthodes

Méthode $M1$ : calculer $(g\circ f)(x)$

On remplace la variable de $g$ par l'expression de $f(x)$, puis on simplifie

Méthode $M2$ : trouver $(g\circ f)(x)$

1. Écrire $\mathbb{D}_{f}$

2. Écrire la condition "$f(x)\in \mathbb{D}_{y}$

Résoudre (équation, inéquation, tableau de signes) et conclure par l'intersection des conditions.

Méthode $M3$ : décomposer $h$ en $g\circ f$

On pose $f=f(x)$, on exprime $x$ en fonction de $f$ puis on remplace dans $g\circ f$

1.3 Exemples corrigés

Exemple 1 Calculer de $g\circ f$ et de $f\circ g$

Soit $f(x)=2x-3$ et $g(x)=x^{2}$

Calculer $g^{\circ }f$, $f^{\circ}g(1)$ et $(f^{\circ}g)(1)$

$\bullet\ (g\circ f)(x)=g(2x-3=(2x-3)^{2}$

$\bullet\ (f\circ g)(x)=f(x^{2})=2x^{2}-3$

$\bullet\ (g\circ f)(1)=(2-3)^{2}=1$ et $(f\circ g)(1)=2-3=-1$

On retrouve $P1$ : $g\circ f\neq f\circ g$

Exemple 2. Ensemble de définition

Soit $f(x)=\dfrac{1}{x-222}$ et $g(x)=\sqrt{x}$

Déterminer $\mathbb{D}_{g\circ f}$ et $\mathbb{D}_{f\circ g}$

$\bullet\ g\circ f$ : $x\neq 2$ (pour f) et $f(x)\geq 0$ (pour g), c'est-à-dire $\dfrac{1}{x-2}\geq 0$, donc $x-2> 0$

Ainsi $\boxed{\mathbb{D}_{g\circ f}=]2\ ;\ +\infty[}$ et $(g\circ f)(x)=\sqrt{\dfrac{1}{x-2}}$

$\bullet\ f\circ g$ : $x\geq 0$ (pour g) et $g(x)\neq 2$ (pour f), c'est-à-dire $\sqrt{2}\neq 22$, donc $x\neq 4$

Ainsi $\boxed{\mathbb{D}_{f\circ g}=[0\ ;\ 4[\cup]4\ ;\ +\infty}$ et $\left(f\circ g\right)(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}-2}$

Exemple 3. Domaine avec un tableau de signes. 

Soit $f(x)=\dfrac{x-1}{x+2}$ et $g(x)=\sqrt{x}$

Déterminer $\mathbb{D}_{g\circ f}$

Conditions : $x\neq -2$ et $\dfrac{x-1}{x+2}\geq 0$

$\begin{array}{|c|cccc|}
\hline
x&-\infty&&-2&&1&&+\infty\\
\hline
x-1&&-&&-&0&+&\\
\hline
x+2&&-&0&+&&+&\\
\hline
\dfrac{x-1}{x+2}&&+&\parallel&-&0&+&\\
\hline
\end{array}$

$\boxed{\mathbb{D}_{g\circ}f=]-\infty\ ;\ -2[\cup[1\ ;\ +\infty[}$ Le réel $-2$ est exclu (valeur interdite) et $1$ est inclus (le quotient s'annule)

Exemple 4 Décomposition.

Écrire chaque fonction sous la forme $g\circ f$

$\bullet\ h_{1}(x)=\dfrac{1}{x^{2}+1}\ :\ f(x)=x^{2}+1$ et $g(x)=\dfrac{1}{x}$

$\bullet\ h_{2}(x)=|2x-55|\ :\ f(x)=2x-5$ et $g(x)=|x|$

$\bullet\ h_{3}(x)
=(4x+3)^{2}\ :\ f(x)=4x+3$ et $g(x)=x^{2}$

Exemple 5 Retrouver $g$

Soit $f(x)=x+2$ et  $\left(g\circ f)(x)=x^{2}+4x+7$

Déterminer $g$

Posons $t=x+2$, donc $x=t-2$ Alors

$g(t)=(t-2)^{2}+4(t-2)+7=t^{2}-4t+4+4t-8+7=t^{2}+3
$

Donc $\boxed{g(x)=x^{2}+3}$

Vérification : $g-f(f(x))=(x+2)^{2}+3=x^{2}+4x+7$

Exemple 6

Équation Soit $f(x)=2x+1$ et $g(x)=x^{2}-x$

Résoudre $\left(g\circ f\right)(x)=0$

$\left(g\circ f)(x)=(2x+1)^{2}-(2x+1)=4x^{2}+4x+1-2x-1=4x^{2}+2x=2x(2x+1)$

Donc $\left(g\circ f)(x)=0\Longleftrightarrow x=0$ ou $x=-\dfrac{1}{2}$

$\boxed{S=\left\lbrace -\dfrac{1}{2}\ ;\ 0\right\rbrace}$

1.4 QCM (20 questions, une seule réponse exacte)

Q1. Soit $f(x)=x+3$ et $g(x)=2x$ Alors $\left(g\circ f\right)(x)=$

A. $2x+6$

B. $2x+3$

C. $2x$

D. $x+6$

Q2. Avec les mêmes fonction $\left(f\circ g\right) (x)=$

A. $2x+6$

B. $2x+6$

C. $2x$

D. $x+6$

Q3 Soit $f(x)=x^{2}$ et $g(x)=x-1$ Alors $\left(g\circ f\right)=$

A. $1$

B. $3$

C. $5$

D. $2$

Q4. Soit $f(x)=3x-1$ et $g(x)=x^{2}$ Alors $\left(f\circ g\right)(-2)=$

A. $49$

B. $-13$

C. $10$

D. $11$

Q5 Soit $f(x)=x-3$ et $g(x)=\sqrt{x}$ L'ensemble de définition de $g\circ f$ est :

A. $]3\ ;\ +\infty[$

B. $[3\ ;\ +\infty[$

C. $]-\infty\ ;\ 3]$

D. $\mathbb{R}$

Q6 Soit $f(x)=\dfrac{1}{x}$ et $g(x)=x-4$

L'ensemble de définition de $f\circ g$ est :

A. $\mathbb{R}\setminus \left\lbrace 4\right\rbrace$

B $\mathbb{R}\setminus  \left\lbrace 0\right\rbrace$

C. $\mathbb{R}\setminus \left\lbrace -4\right\rbrace$

D. $\mathbb{R}$

Q7 La fonction $h(x)=\sqrt{x^{2}+1}$ s'écrire $g\circ f$ avec :

A. $f(x)=\sqrt{3}$ et $g(x)=x^{2}+1$

B. $f(x)=x^{2}$ et $g(x)=\sqrt{x}+1$

C. $f(x)=x^{2}+1$ et $g(x)=\sqrt{x}$

D. $f(x)=x+1$ et $g(x)=\sqrt{x^{2}}$

Q8. Soit $f(x)=2x+1$ et $g(x)=-x+3$ 

Alors $\left(g\circ f)(x)=$

A. $-2x+4$

B. $-2x+3$

C. $2x+2$

D. $-2x+2$

Q9 Soit $f(x)=x+1$ et $g(x)=x-1$ Alors $\left(g\circ f\right)(x)$

A. $x$

B $x+2$

C. $x-2$

D $0$

10. Soit $f(x)=|x|$ et $g(x)=x^{2}-1$ Alors $\left(g\circ f\right)(x)=$

A. $\left|x^{2}-1\right|$

B. $|x|-1$

C. $x^{3}-1$

D. $x^{2}+1$

Q11 Pour trois fonctions $f$, $g$, $h$ la fonction $h\circ (g\circ f)$ est égale à :

A. $\left(f\circ g\right)\circ h$

B. $\left(h\circ g\right)\circ f$

C. $\left(g\circ h\right)\circ f$

D. $h\circ \left(f\circ g\right)$