1. Étudier suivant les valeurs de l'entier naturel $n$ le reste de la division euclidienne de $5^{n}$par $7$
2. Pour tout entier naturel $n$ on pose $S_{n}=1+5+5^{2}+\ldots+5^{n}$
1) On donne le polynôme $P(x)=ax^{3}+bx^{2}-18x+c$ ; où $a$,$b$ et $c$ sont des réels.
Le plan est rapporté au repère orthonormé direct $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$
I. On appelle $T$ l'application du plan dans lui-même qui au point $M(x\;,y)$ associe le point $M'\left(x^{'}\;,y^{'}\right)$ tel que : $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x'&=&x+y\\ y'&=&-x+y-1\end{array}\right.$
Abdoulaye commence un nouvel emploi dans une entreprise.
Son salaire hebdomadaire augmente régulièrement chaque semaine, selon une progression arithmétique
On note $U_{n}$ le salaire de la $n$-ième semaine, en $FCFA$ Sachant que :
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl}U_{6}&=&12500\\u_{1}+U_{2}\ldots+U_{6}&=&60000\end{array}\right.$$
1.a. Déterminer à l'aide de l'algorithme d'Euclide, deux entiers $a$ et $b$ tels que $31a+13b=1$
b. Déduire l'entier, inverse de $13$ modulo $31$ compris entre $1$ et $30$
1. 1. On considère deux entiers naturels $a$ et $b$ tel que : $a+b=23$
a. Montrer que $a$ et $b$ sont premiers entre eux
b. En déduire $a$ et $b$ sachant que $a< b$ et $PPMC(a\;,b)=126$
2. Résoudre dans $Z^{2}$ l'équation $9u-14v=1$
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $\left(O\;,\vec{u}\;,\vec{v}\right)$
1.a. Calculer le module et un argument de $1+i\sqrt{3}$
b. En déduire la forme algébrique de : $\left(1+i\sqrt{3}\right)$
2. On considère le polynôme $P$ défini par :
A On donne le nombre complexe $u=3+3i$
1. Mettre $u$ sous forme exponentielle.
2. Montrer que $u^{3}=-54+54i$
3. a. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^{3}=1$ (on donnera les solutions sous forme exponentielle).
On précise que les questions sont indépendantes.
1. Trouver toutes les paires d'entiers naturels non nuls $a$ et $b$ tels que : $\left\lbrace\begin{array}{rcl}
PPCM(a\;,b)&=&3PGCD(a\;,b)&=&276\\ 10&<&PGCD(a\;,b)&<&30 \end{array}\right.$
Soient $p$ et $q$ deux nombres premiers vérifiant : $9^{p+q-1}\equiv 1[pq]$ et $p<q$
1. a Montrer que $p$ et $9$ sont premiers entre eux.
b. En déduire que $9^{p-1}\equiv 1[p]$ et $9^{q}\equiv 1[p]$