Exercice 1 : 

Recopie et remplace les pointillés par les mots qui conviennent

1.Si $A'$ est le symétrique de $A$ par rapport à $(D)$, alors $(D)$ est la ........................ de $[AA']$.

2.L’axe de symétrie d’une figure est la droite $(D)$ telle que le ........................ de tout point de la ........................ est un point de la figure.

3.Dans un calcul en ligne, la multiplication et la division sont prioritaires sur ........................ et la .........................

Exercice 1(08 points)

ABC est un triangle du plan tel que : AB = 4cm , AC = 5cm et \(\cos ((\widehat{A})=\frac{3}{5}\).

Exercice 1 (3 points)

     1. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) :
    
        a. \(\sqrt{2x^{2} - 3x - 2} = 2x^{2} - 3x - 1 \) $(1~\text{pt})$
        b. \(\sqrt{x^{2} - 3x + 2} \geq x + 3      \) $(1~\text{pt})$
    
    2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) suivant les valeurs de \(m\) : 
    \[
    (m^{2} - 1)(-2x^{2} + 3x - 1) < 0 \\ (1~\text{pt})
    \]

Exercice 2 (3 points)

Épreuve : mathématique

Exercice 1

1.a) Montrer par récurrence que pour tout $\in\mathbb{N}\;,21^{n}\equiv 1+20\,n\left(\text{mod }100\right)$
 
b. En déduire les deux derniers chiffres de l'entier $2021^{2021}$

On note $(E)$ l'ensemble des entiers  $x\in\mathbb{Z}$  tels que pour tout $\in\mathbb{N}\;,x^{n}\equiv 1+n(x-1)(\text{mod 100})$

Épreuve :mathématique 

1. Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes non nuls. 

Compléter les propriétés sur les modules et arguments suivants :
 
a. $\left|2^{2}\right|=\ldots\;,n$  un entier naturel ;   

c.  Si $z'$ est non nul, alors $\left|\dfrac{x}{x'}\right|=\ldots$

b. $arg\left(z^{n}\right)=\ldots\;,n$ un entier naturel  ; 

Exercice 1 :

Soit $P$ un nombre premier impair.  

On considère dans $\mathbb{Z}$ l'équation $(E)\ :\ x^{2}\equiv 2[p]$

Exercice 1 :
 
On considère dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes, l'équation $(E)$ :  

$z^{3}-\left(1+2\mathrm{i}\right)z^{2}+3\left(1+\mathrm{i}\right)z-10\left(1+\mathrm{i}\right)=0$

1. a. Déterminer les racines carrées du complexe $Z=5-12\mathrm{i}$

b. Montrer que $(E)$ admet une solution imaginaire que l'on déterminera.  
c. Déterminer $\alpha$ et $b$ tels que : 

Pour tout $n\in\mathbb{N}^{\ast}$, on pose : $A_{n}\int_{0}^{1}\dfrac{x^{n}}{n!}\mathrm{e}^{-x}dx\;, A_{0}=\int_{0}^{1}\mathrm{e}^{-x}dx$ et $U_{n}=\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{k!}$

1.a. Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}^{\ast}\;, 0\leq A_{2}\leq\dfrac{1}{n!}$ et en déduire $\lim\limits_{n\longrightarrow\,+\infty}A_{n}$

Épreuve mathématique 

Exercice 1

Soit le complexe $\alpha=-1-\vec{i}$ et $\left(?_{?}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite de nombres complexes définie par : 

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} ?_{0}&=&0 ???_{1}=?\\ ?_{?+1}&=&(1-?)?_{?}+??_{?-1} \end{array}\right.$

1. Déterminer $?_{2}$ et $?_{3}$ sous forme algébrique.

Exercice 1

Les parties $A$ et $B$ sont indépendantes

$A-$ On considère le polynôme $?$ défini par $?(?)=2?^{3}-5?^{2}-46?+24$
 
1. Vérifier que $6$ est racine de $?(?)$

2. En déduire une factorisation complète de $?(?)$

3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $?(?)=0$

4. En déduire les solutions de :