Évaluations à épreuve standardises du second semestre - TL 2024-2025

Exercice 1

Abdoulaye commence un nouvel emploi dans une entreprise.

Son salaire hebdomadaire augmente régulièrement chaque semaine, selon une progression arithmétique

On note $U_{n}$ le salaire de la $n$-ième semaine, en $FCFA$ Sachant que : 
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl}U_{6}&=&12500\\u_{1}+U_{2}\ldots+U_{6}&=&60000\end{array}\right.$$

1. Montrer que le salaire de la première semaine $U_{1}$ est $7500$ FCFA, et que la raison $r$ de la suite arithmétique est $1000$ FCFA

2. En déduire une expression de $U_{n}$ en fonction de $n$

3. Donner une expression de la somme des $n$ premiers salaires $S_{n}$ en fonction de $n$

4. Abdoulaye souhaite cumuler $2496000$ FCFA pour acheter un terrain.

4. Combien de semaines devra-t-il travailler pour atteindre cet objectif ?

Exercice 2

Les mots de la phrase << le chat est un animal domestique >> sont inscrits sur des cartons placés dans un sac.

Les cartons sont indiscernables au toucher

On tire successivement, sans remise, trois cartons du sac que l'on place l'un à la suite de 

l'autre suivant l'ordre de sortie, on appelle cela résultat.

1.a. Déterminer le nombre total de résultats que l'on peut avoir.

b. Déterminer le nombre de résultats contenant autant de nom$(s)$ que de verbe$(s)$ 

2. Déterminer la probabilité de chacun des évènements suivants.

$A$ : <<le résultat obtenu contient  un seul article et un seul nom>> ;

$B$ : <<le résultat commence par <<un>> et contient <<chat>> ; 

$C$ : <<le résultat contient <<un>> ou contient <<animal>>

Problème 

On considère la fonction $f$ définie par :
$$f(x)=\dfrac{x^{2}+7x+1}{x+1}$$

et $\left(C_{1}\right)$ sa courbe représentative dans la plan muni d'un repère orthonormé $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$

1. Donner le domaine de définition $D_{f}$ de $f$

2. Calculer les limites suivantes :

$\lim\limits_{x\longrightarrow\;,-\infty}f(x)$ ; 

$\lim\limits_{x\longrightarrow\,-1^{-}}$ ; 

$\lim\limits_{x\longrightarrow\;,-1^{+}}f(x)$ et

$\lim\limits_{x\longrightarrow\;,+\infty}f(x)$

3. Calculer la dérivée $f'(x)$

4. Étudier le signe de $f'(x)$ puis dresser le tableau de variation de $f$

5. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que
$$\text{Pour tout }x\in D_{F}\ ;\ f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x+1}$$

6. Montrer que la droite $(D)\ :\ y=x+6$ est une asymptote oblique à $\left(C_{f}\right)$ puis étudier la position de $\left(C_{f}\right)$ par rapport à $(D)$

7. Montrer que le point $H(-1\ ;\ 5)$ est un centre symétrie de $\left(C_{f}\right)$

8. Déterminer les points d'intersection de $\left(C_{f}\right)$ avec les axes du repère