Évaluations standardises du second semestre TS2 - 2024-2025

Exercice 1

A  On donne le nombre complexe $u=3+3i$
 
1. Mettre $u$ sous forme exponentielle.
                                                                                                                
2. Montrer que $u^{3}=-54+54i$
 
3. a. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^{3}=1$ (on donnera les solutions sous forme exponentielle).

               
b. En déduire les solutions sous forme exponentielle de l'équation $(E)\ :\ z^{3}=-54+54i$
 
B.  Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct $\left(O\ ;\ \vec{u}\ ;\ \vec{v}\right)$ , on donne les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $z_{A}=2i\;,z_{B}=2i$ et $z_{C}=3+3i$

1. Écrire le quotient $\dfrac{z_{B}-z_{A}}{z_{B}-z_{C}}$ sous la forme algébrique.

En déduire la nature exacte du triangle $ABC$

2. Déterminer le centre $I$ et le rayon $r$ du cercle $C(I\ ;\ r)$ circonscrit au triangle $ABC$      

3. Soit $f$ la transformation qui laisse invariant le point $B$ et qui transforme $C$ en $A.$

a. Déterminer l'écriture complexe, la nature exacte et les éléments caractéristiques de $f.$
 
b.  Soit $C'\left(I'\ ;\ r'\right)$ le cercle image du cercle $C(I\ ;\ r)$ par $f$
 
i. Déterminer une équation cartésienne de $C'\left(I'\ ;\ r'\right)$
                                     
ii. Comparer la distance $II'$ a la somme $r+r'$puis donner la position relative des cercles $C(I\ ;\ r)$ et $C'\left(I'\ ;\ r'\right)$

Exercice 2 :

En débutant un jeu, Astou a autant de chances de gagner ou de perdre la première partie.                                         

On admet que :

$\bullet\ $Si elle gagne une partie la probabilité qu'elle gagne la partie suivante est

$\dfrac{6}{10}$

$\bullet\ $Si elle perd une partie la probabilité pour qu'elle perde la partie suivante est $\dfrac{6}{10}$

On note, pour $n$ entier naturel :

$\bullet\ G_{n}$l'événement « Astou gagne la nième partie »

$\bullet\ P_{n}$l'événement « Astou perd la nième partie »

1.a. Déterminer les probabilités: $p\left(G_{1}\right)$, $p\left(G_{2}/G_{2}\right)$ et $\left(G_{2}/P_{1}\right)$

En déduire la probabilité $p\left(G_{2}\right)$
                                                                                     
b. Calculer $p\left(G_{2}\right)$
 
2.   On pose, pour tout entier naturel $n$  non nul, $x_{n}=p\left(G_{n}\right)$ et $y_{n}=p\left(P_{n}\right)$

Montrer que pour entier naturel non nul :

$\left\lbrace\begin{array}{rcl}x_{n+1}&=&\dfrac{6}{10}x_{n}+\dfrac{3}{10}y_{n}\\y_{n+1}&=&\dfrac{4}{10}x_{n}+\dfrac{7}{10}y_{n}\end{array}\right.$

3. Pour tout entier naturel non nul, on pose : $V_{n}=x_{n}+y_{n}$ et $W_{n}=4x_{n}-3y_{n}$
 
a. Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $V_{n}=1$

b. Montrer que la suite $\left(w_{_{n}}\right)$ est géométrique et exprimer $W_{n}$ en fonction de $n.$
 
c. En déduire l'expression de $x_{n}$ en fonction de $n$
 
d. Montrer que la suite $\left(x_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite.                                                  
 
 
Problème

Partie A :   

On considère la fonction $g$ définie sur $]0\ ;\ +\infty[$ par : $g(x)=x^{2}-1+\ln x$

1. Dresser le tableau de variation de $g.$
 
2. Calculer $g(1)$ puis en déduire le signe de $g$ sûr $]0\ ;\ +\infty[$

Partie B :

On considère la fonction $f$ de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ définie par : $f(x)=\left\lbrace\begin{array}{rcl}x+1-\dfrac{\ln x}{x}&\text{ si }x\geq 1\\(x+1)\mathrm{e}^{-x+1}&\text{ si }x\prec1 \end{array}\right.$ $\left(C_{f}\right)$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé $\text{(unité graphique }1\;,cm).$

1. Déterminer l'ensemble de définition $D_{f}$ def $f$
                                                                                          
2. Calculer les limites aux bornes de $D_{f}$
                                                                                                
3. Étudier les branches infinies de $\left(C_{f}\right)$                                                                                    

4. Étudier la continuité de $f$ en $1$
                                                                                                                 
5.a Montrer que pour $x\geq 1\;,\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=1-\dfrac{1}{x}\left(\dfrac{\ln x}{x-1}\right)$

b. Montrer que pour $x<1\;,\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=-2\left(\dfrac{\mathrm{e}^{X}-1}{X}\right)+\mathrm{e}^{x}$ avec $X=1-x$
 
c. Étudier la dérivabilité de $f$ en $1$ puis interpréter graphiquement.                                                        

6.a. Montrer que pour $x>1\;,f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^{2}}$

b. Montrer que pour $x<1\;,f'(x)=-x\mathrm{e}^{-x+1}$

7. Dresser le tableau de variation de $f$

8. Construire la courbe $\left(\mathbb{C}_{f}\right)$ de $f$

9.a.  Déterminer la primitive sur $[1\ ;\ +\infty[$ de la fonction $f$ qui s'annule en $1$

b. Calculer l'aire du domaine délimité par $\left(C_{f}\right)$, l'axe des abscisses, les droites d'équation $x=2$ et $x=4$