I. Rappels

1.Factorisation d'un trinôme  du second degré

Le tableau suivant permet de factoriser un trinôme du second degré $ ax^{2}+bx+c$.

$$\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Signe du discriminant}\Delta=b^{2}-4ac& \text{Factorisation du trinôme} ax^{2}+bx+c\\
\hline
\Delta<0&ax^{2}+bx+c \text{ne peut pas se factoriser}\\
\hline
\Delta=0&ax^{2}+bx+c=a(x-x_{0})^{2} ou x_{0}=-\dfrac{b}{2a}\\
\hline
\Delta>0&ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2}) \text{ou}\\ &x_{1}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} et x_{2}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\
\hline
\end{array}$$

$\bullet$ Exemples : Factorisons les trinômes du second degré suivants :
$g(x)=x^{2}-2x+3$

$g(x)=9x^{2}+6x-1$

$h(x)=x^{2}-x-6$

2. Signe d'un trinôme du second degré

Le signe d'un trinome du second degrés s'obtient généralement à l'aide d'un tableau de signe.

$\bullet \Delta<0$ alors le trinome n'a pas de racine et son tableau de signe est le suivant:
m.
Si est le suivant :
$$\begin{array}{|c|c|}
\hline
x&-\infty +\infty\\
\hline
ax^{2}+ax+c&\text{Signe de a}\\
\hline
\end{array}$$

Exemple : étudions le signe de $-x^{2}+x-2$

$\bullet$ Si $\Delta=0$ alors le trinôme a une seule racine dite racine double et son tableau de signe
est le suivant :

$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
x&-\infty&+\infty\\
\hline
ax^{2}+ax+c&\text{Signe de a}&\text{Signe de a}\\
\hline
\end{array}$$

Exemple : étudions le signe de $9x^{2}-6x+1$

$\bullet$ Si $\Delta<0$ alors le trinôme a deux racines distinctes et son tableau de signe est le
suivant :
 
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
x&-\infty&&+\infty\\
\hline
ax^{2}+ax+c&\text{Signe de a}&\text{Signe de -a} &\text{Signe de a}\\
\hline
\end{array}$$

Exemple : étudions le signe de $2x^{2}-7x+3$

II.Factorisation d'un polynôme de degré $n\geq 3$ connaissant une racine

a. Par la division euclidienne

Exemple

Soit le polynôme  $x^{3}-2x^{2}-5x+6$

Soit le polynôme alors $P(x)$  peut s'écrire sous la forme $P(x)=a^{2}-bx+c$

1. Vérifier que $-2$ est une racine de ce polynôme.

2. Factoriser ce polynôme en utilisant la méthode de la division euclidienne.

b. Par la identification

Rappels

$\bullet$ Si $P(x)$ est un polynôme de degré $2$ alors $P(x)$  peut s'écrire sous la forme $P(x)=a^{2}-bx+c$
avec $a, b$ et $c$ des réels constants.

$\bullet$ Si $P(x)$ est de degrés $3$ alors $P(x)$  peut s'écrire sous la forme $P(x)=a^{2}-bx+c$ est de degré $3$ la forme $a^{3}-bx^{2}-cx+d$
avec $a, b, c$ et $d$ des réels constants.

Exemple

1. Vérifier que $1$ est racine de $x^{3}-7x+6$

2. Factoriser ce polynôme en utilisant ma méthode d'identification

c. Par la méthode de Horner

Exemple : Soit le polynôme $x^{3}-2x^{2}-5x+6$

1. Vérifier que $-2$ est racine de $x^{3}-2x^{2}-5x+6$.

2. Factoriser $x^{3}-2x^{2}-5x+6$ en utilisant la méthode de Horner.

$x^{3}-2x^{2}-5x+6=(x+2)(x^{2}-4x+3)$.
 
On remarque que $x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3)$.

Par suite $x^{3}-2x^{2}-5x+6=(x+2)(x-1)(x-3)$ .

Exercice d'application

1. Vérifier que 1 est racine de  $x^{3}-7x+6$

2. Factoriser ce polynôme en utilisant la méthode de Horner.

III.Signe d'un polynome et résolution d'inéquations

1. Exemple

Soit $x^{3}-2x^{2}-5x+6$

1. Vérifier que $-2$ est une racine de $x^{3}-2x^{2}-5x+6$.

2. Etudier le signe de $x^{3}-2x^{2}-5x+6$ .

3. En déduire les solutions dans $\mathbb{R}$ de l'inéquation $x^{3}-2x^{2}-5x+6$

2. Exercice d'application

1. Vérifier que $1$ est une racine de $x^{3}-7x+6$

2. Etudier le signe de $x^{3}-7x+6$ .

3. En déduire les solutions dans $\mathbb{R}$ de l'équation $x^{3}-7x+6$

IV. Fraction rationnelle

1. Définition et exemple

$\bullet $Une fraction rationnelle est un quotient dont le numérateur et le dénominateur sont
des polynômes.

$\bullet$ L'expression $\dfrac{x^{4}-8x^{2}-3}{x^{3}-7x^{2}+7x+6}$est une fraction rationnelle.

2.Signe d'une fraction

Exemple

$\dfrac{x^{3}-2x^{2}-5x+6}{x^{3}-7x+6}$ est une fraction rationnelle.

1. Montrer que $-2$ est racine de $x^{3}-2x^{2}-5x+6$ et que $1$ est racine de ${x^{3}-7x+6}$.

2. Etudier dans un même tableau, les signes de $x^{3}-2x^{2}-5x+6$ et de ${x^{3}-7x+6}$ .

En déduire celui de $\dfrac{x^{3}-2x^{2}-5x+6}{x^{3}-7x+6}$