Devoir standardise du second semestre - TS1 2024-2025
Exercice 1 :
Soient $p$ et $q$ deux nombres premiers vérifiant : $9^{p+q-1}\equiv 1[pq]$ et $p<q$
1. a Montrer que $p$ et $9$ sont premiers entre eux.
b. En déduire que $9^{p-1}\equiv 1[p]$ et $9^{q}\equiv 1[p]$
2. a Montrer que $p-1$ et $q$ sont premiers entre eux.
b. En utilisant le théorème de Bézout, montrer que $p=2$
c. En utilisant le théorème de Fermat, montrer que $9^{q-1}\equiv 1[q]$
d. En déduire que $q=5$
Exercice 2 :
L'unité graphique est le centimètre
Dans le plan orienté, on considère un losange $OABC$ tel que $OA=7$ et $Mes\left(\overline{OA}\ ;\ \overline{OC}\right)=\dfrac{\pi}{3}$
$E$ le point de $[OB]$ tel que $OE=OA$
$F$ est le point de le demi-droite $[OC)$ tel que $CF=EB$ et $C\in[OF]$ ; soient $I$, $J$, $K$ et $L$ les milieux respectifs de $[OA]$, $[AB]$, $[BC]$ et $[OC]$
On désigne par $(\Delta)$ la médiatrice de $[OA]$ et par $\left(\delta'\right)$ celle de $[BC]$
1. Faire une figure
2.a Justifier que les droites $(\Delta)$ et $\left(\delta'\right)$ sont parallèles
b. Justifier que le triangle $OAC$ est équilatéral
c. Justifier que $OB=OF$
3. Soient $R_{1}$ la rotation de centre $O$ et d'angle $\dfrac{\pi}{6}$ et $R_{2}$ la rotation de centre $A$ et d'angle $-\dfrac{2\pi}{3}$
On pose $f=R_{1}\circ R_{2}$
a. Déterminer $f(0)$ et $f(A)$
c. En déduire de ce qui précède que $(EF)\perp (OA)$ et $EF=OA$
d. Construire le centre $\Omega$ de $f$
4.a. Justifier qu'il existe une isométrie $g$ et une seule telle que $g(0)=A$, $g(A)=C$ et $g(C)=B$
b. Justifier que $g$ est un antidéplacement.
c. Démontrer que $g$ est une symétrie glissée.
5. Dans cette partie on se propose de caractériser la symétrie glissée $g$
Soient $\mathbb{R}$ la rotation de centre $A$ et d'angle $-\dfrac{\pi}{3}$ et $S$ la symétrie orthogonale d'axe $(\delta)$
a. Démontrer que $g=R\circ S$
b. Déterminer l'axe de la symétrie orthogonale $S_{1}$ telle que $R=S_{(AB)}^{\circ S_{1}}$
c. Déduire de ce qui précède que $=S_{(AB)}^{ot_{\vec{u}}}$ ou $\vec{u}$ est un vecteur que l'on caractérisera.
d) En utilisant $\overrightarrow {CB}=\overrightarrow{CJ}+\overrightarrow{JB}$ , déterminer les éléments caractéristiques de $g.$
Problème :
Partie A :
Soit $h$ une fonction continue et positive.
sur $I=[0\ ;\ +\infty[$ , $H$ est la primitive de $h$ sur $I$ vérifiant $H(0)=0$
1. Montrer que $H$ est positive sur $I$
2. En utilisant plusieurs fois la question $1$ et le fait que pour tout réel $x\geq 0\;,\mathrm{e}^{x}-1\geq 0$, montrer que : pour tout réel $x\geq 0\;,\mathrm{e}^{x}\geq\dfrac{x^{4}}{24}$
Partie B :
On considère la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=1-x^{2}\mathrm{e}^{-x}$
1. Dresser le tableau de variation de $f.$
2. Déduisez de cette étude que l'équation $f(x)=0$ a une solution et une seule, notée $\alpha$
Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
3. L'unité graphique est $2\,cm$ , tracer la courbe $\left(\mathbb{C}\right)$ représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormé.
4. Soit $\lambda$ un réel strictement positif.
On note $D$ le domaine limité par la droite d'équation : $y=1$, la courbe $(\mathbb{C})$, les droites d'équations $x=\lambda$, et $x=0.$
On note $A(\lambda)$ l'aire en $cm^{2}$ de ce domaine.
a. Montrer que : $\dfrac{A(\lambda)}{4}=\int_{0}^{\lambda}x^{2}\mathrm{e}^{-x}dx$
b. On veut savoir s'il est possible de choisir $\lambda$ tel que $A(\lambda)=125\,cm^{2}$
i. Sans calculer l'intégrale, montrer que : lorsque $\lambda\leq 1\;,\int_{0}^{\lambda}x^{x}\mathrm{e}^{-x}dx\leq 1$ et $\int_{1}^{\lambda}x^{2}\mathrm{e}^{-x}dx \leq 24\left(1-\dfrac{1}{\lambda}\right)\leq 24$
ii. De ces inégalités déduisez qu'on ne peut pas avoir, $a(\lambda)=125\,cm^{2}$
Partie C :
On désigne par $f'$ et $f"$ les dérivées première et seconde de $f$ respectivement.
1. Vérifier que pour tout $x$, $f"(x)+2f'(x)+f(x)=-2\mathrm{e}^{-x}+f(x)=-2\mathrm{e}^{-x}+1$
2. On note $F$ la primitive sur $\mathbb{R}$ de $f$ qui s'annule pour $x=0$
a. Donner la valeur explicite de $F(x)$ pour tout réel $x$
b. Écrire $F(x)$ sous forme d'intégrale puis retrouvez le résultat de la question $2$ en calculant cette intégrale.
Partie D :
On se propose de résoudre l'équation différentielle du second ordre, de fonction inconnue $y$ :
$y"+2y'+y=-2\mathrm{e}^{-x}+1\left(E_{1}\right)$
Il a été vu en $C.1$ que la fonction $f$ est solution de $\left(E_{1}\right)$
1. Résolvez l'équation $y"+2y'+y=0\left(E_{2}\right)$
2. $g$ est une solution définie sur $\mathbb{R}$ de l'équation $\left(E_{2}\right)$
Démontrer que $g+f$ est une solution de $\left(E_{2}\right)$
Inversement, soit $h$ une solution de $\left(E_{1}\right)$ Démontrer que $h-f$ est solution de $(E_{2}$
Déduisez en l'ensemble des solutions de $\left(E_{2}\right)$
3. Déterminez la solution $\varphi$ de $\left(E_{2}\right)$ telle que $\varphi(O)=\varpi'(O)=0$
Partie E :
Soit $\alpha$ un nombre réel donné. $g_{\alpha}$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x)=\left(-x^{2}+ax+\alpha\right)\mathrm{e}^{-x}+1$
1. Montrer que les courbes $\mathbb{C}_{\alpha}$ représentatives des fonctions $g_{\alpha}$ passent toutes par un même point
fixe $1$
2. On suppose que $\alpha\neq -2$
3. Démontrer que la fonction $g_{\alpha}$ admet deux extrémums dont l'un est obtenu pour $x=0$
4. On note $M_{\alpha}$ le point d'abscisse $a+2$ sur la courbe $\mathbb{C}_{\alpha}$
Lorsque $\alpha$ varie, $M_{\alpha}$ décrit une courbe $(\Gamma)$
Donner une équation cartésienne de la courbe $(\Gamma)$
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