Considérons la fonction définie par $f(n) Π^{n}_{k=2} (1-\dfrac{1}{k^{2}})$.
L’objectif de cette partie est de montrer que$\lim\limits_{n \longrightarrow +\infty} f(n)=\dfrac{1}{2}$.
1. Montrer que $1-\dfrac{1}{k^{2}}=\dfrac{k^{2}-1}{k^{2}}=\dfrac{(k-1 )(k+1 )}{k\times k}$.
2. Montrer que $Π^{n}_{k=2} (1-\dfrac{1}{k^{2}})=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{n+1}{n}\right)$.
1. Résoudre dans $ℝ$ :
a. $\sqrt{2x^{2} − 3x − 2 }= 2x^{2} − 3X − 1$
b. $\sqrt{x^{2} − 3x + 2 }≥ x + 3 $
2. Résoudre dans $ℝ$ suivant les valeurs de $m: (m^{2} − 1)(−2x^{2} + 3x − 1) < 0$
On dit qu’un polynôme $P(x)$ est Amarien s’il vérifie $(x − 16)P(2x) = 16(x − 1)P(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
1. Résoudre dans $\mathbb{R}^{2}$ les systèmes suivants :
a. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x+7y&=&3\\ 3x-y&=&-7 \end{array}\right.$
b. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} xy&=&64\\ x+y&=&16 \end{array}\right.$
Mettre sous forme canonique chacun des trinômes suivants :
a. $f(x)-x^{2}-5x+11$
b. $g(x)=6x^{2}+5x-1$
c. $h(x)=-25x^{2}+20x-4$
d. $k(x)=x^{2}-7x+12$
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes
1. Résoudre le système : $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y&=&110\\ 2x+5y&=&340 \end{array}\right.$
2. Un théâtre propose deux types de billets les uns à $1000\,f$ et les autres à $2500\,f$
On sait que $110$ spectateurs ont assisté à cette représentation théâtrale et que la recette totale s'élève à $170000\,f$
Calcule le nombre de billets vendus pour chaque type
1. Soit $P(x)=ax^{2}+bx+c$ avec $a$, $b$ et $c$ des réels
$P$ est trinôme du second degré si $\ldots\ldots a\ldots\ldots$$
La forme canonique de $P(x)=\ldots\ldots (b)\ldots\ldots$
Si son forme $\Delta >0$ alors $(x)$ a deux racines distinctes $x_{1}$ et $x_{2}$ tels que $x_{1}=\ldots$
$(c)\ldots\ldots$ et $x_{2}\ldots\ldots(d)\ldots\ldots$
I.1. Définir les termes suivants :Fonction affine, trinôme du second degré
2. Donner la formule du taux de variation d'une fonction affine
3. Soient $(D)\ :\ ax+by+c=0$ et $(D')\ :\ y=mx+p$
a. Donner le coefficient directeurs de $(D)$ et celui de $(D')$
Choisir la bonne réponse.
Aucune justification n'est demandée.
1. La limite d'une fonction polynôme en l'infini est égale à :
a. $+\infty$
b. $-\infty$
c. la limite de son monôme de plus haut degré.
2. La limite d'une fonction rationnelle en l'infini est égale à :
1) $b$ étant un nombre décimal arithmétique et n un entier naturel différent de zéro.
a) Remplace les pointillés par l’expression qui convient :
$b^{n}$ est le ………………….. de $n$ facteurs tous égaux à ………………..
b) Ecris sous la forme d’une seule puissance de
$b\times b\times b\times b$=. =…………………
$b^{7}\times b^{3}=$= ……………………
$(b^{4})^{2}=$ …………………
1). Reproduis puis complète les pointillés par deux lectures différentes de la puissance ci-après :
se lit « ………………………………………………………. » ou « ……………………………………………………. »
2) Reproduis puis complète la définition ci-après :
Une puissance de base a et d’exposant 5 est un produit de ………………………………………………….
3) Soit l’égalité $27 = 4 x 6 + 3$.