On donne le polynôme $P(x)=x^{3}-x^{2}-4x+4$
1. Montrer que $1$ est une racine de $P(x)$
2. Déterminer le polynôme $Q(x)$ tel que $P(x)=(x-1)Q(x)$
3. Écrire $P(x)$ comme produit de polynôme de degré $1$
4. Résoudre dans $\mathbb{R}$
a. L'équation $P(x)=4$
1. Répondre par vrai ou faux
a. Si $a$ est racine d'un polynôme $P(x)$ $P(0)=a$
b. Si $-1$ est une racine d'un polynôme alors on peut trouver un polynôme $Q(x)$ tel que $P(x)=(x-1)\times Q(x)$
c. L'expression $\sqrt{3}x^{3}$ est un monôme
2. Choisissez la bonne réponse
a. Une racine de $P(x)-6x^{2}+2x+12$ est :
a. $a=1$
A. Définir les termes suivants : monôme, polynôme racine d'un polynôme
B. Compléter les phrases suivantes :
Soit $f(x)=ax^{2}+bx+c$ un trinôme du second degré
a. Si $\Delta >0$ alors la factorisation de $f$ est : $\ldots\ldots$
b. Si $\Delta <0$ alors la factorisation de $f$ est : $\ldots\ldots$
On considère le polynôme $P$ définie par : $P(x)=2x^{3}-9x^{2}+3x+4$
1. Quel est le degré de $P$ ?
2. Montrer que $1$ est une racine de $P$
3. Déterminer le degré du polynôme $Q$ tel que $P(x)=(x-1)Q(x)$
4. Factoriser $P(x)$
5.Montrer que la factorisation complète de $P$ est : $P(x)=(2x+1)(x-1)(x-4)$
On donne le polynôme $P(x)=2x^{3}+ax^{2}+bx+c$ où $a$, $b$ et $c$ sont réels.
1. Comment appelle-t-on les réels $a$, $b$ et $c$ ?
2. Sachant que $1$ est une racine de $P$, montrer que : $a+b+c=-2$
3. On donner $P(2)=-10$ et $P(-1)=-10$
ACTIVITÉS NUMÉRIQUES
PARTIE A :
Soient $\displaystyle a = 1 - \frac{2}{3}\sqrt{3}$, $\quad$ $\displaystyle b = \frac{5}{6}\sqrt{\frac{18}{25}} - \sqrt{1}$, $\quad$ $\displaystyle c = 1 - \sqrt{16} - \sqrt{12}$
Compléter les phrases suivantes
1. Si $a$ est racine d'un polynôme $P(x)$ alors $P(x)$ est factorisable par $x\ldots$
2. La forme factorisée d'un trinôme du second degré $ax^{2}+bx+c$
2. dont les racines sont $x_{1}$ et $x_{2}$ est $\ldots$
3. Si $a$ est une racine d'un polynôme de degré $4$
1. Répondre par vrai ou faux
a. Si $a$ racine d'un polynôme $P(x)$ alors $P(0)=a$
b. Si $-1$ est une racine d'un polynôme alors on peut trouver un polynôme $Q(x)$ tel que $P(x)=(x-1)\times Q(x)$
c. L'expression $\sqrt{3}x^{3}$ est un monôme
2. Choisissez la bonne réponse.
a. Une racine de $p(x)=x^{3}-6x^{2}+2x+12$ est :
Pour chacune des propositions suivantes, choisis la bonne réponse en écrivant le numéro de la proposition suivi de la lettre indiquant la réponse choisie sur ta copie.
pour chaque réponse juste).
PARTIE A : Soient
\[
a = 1 - \frac{2}{3} \sqrt{3}, \quad
b = \frac{5}{6} \sqrt{\frac{49}{25}} - \sqrt{1}, \quad
c = 1 - \sqrt{16} - \sqrt{12}.
\]
1. Simplifie \( b \) et \( c \) (0,5point+0,5point)
2. Montre que \( a = -b \) (0,5point)
3. Montre que \( a = \frac{1}{c} \). Déduis-en que \( a^2 = \frac{a}{c} \) (0,5point+0,5point)
4. Montre \( d = b \times c + 1 \). (0,5point)
PARTIE B