I. Dénombrement

1. Notion d'ensemble fini

$\bullet$un ensemble est une réunion d'objets distincts.

Chaque objet de l'ensemble est appelé élément de l'ensemble.

Il est souvent noté par une lettre majuscule.

$\bullet$Lorsque $E$ désigne un ensemble, $l$ et $E$ est dit cardinal de $E$ et est
noté $card(E)$.

a. Exemple

Soit $E$ ,l'ensemble des lettres du nom de famille fall ».

Les éléments de $E$ sont les lettres : $f ; a$ et $l$.

On note $E={f;a;l}={f;l;a}={a;l;f}=...$

Le cardinal de $E$ est $3$ donc on a $card(E)=3$.

$f$ est un élément de $E$ donc on écrit$f\in E$

$b$ n'est pas un élément de $E$ donc on écrit $b\in E$.

b. Remarque

Par convention, un ensemble qui ne contient aucun élément est dit ensemble vide et est noté.

On a donc $card(\varnothing)=0$

Par exemple l'ensemble $E$ des éléves de la $TL2 B$ de 2018 du
lycée de Ndondol ayant pour nom de famille « fall est l'ensemble vide.

2.Partie d'un ensemble

a. Définition et exemple

Un ensemble $A$ est une partie (ou sous ensemble)d'un ensemble $E$ si tous les éléments de $A$ sont
aussi des éléments de $E$.

Dans ce cas, on écrit$A\subset E$ .

Soit $E$ l'enemble des éléves du lycée de Ndondol et $A$ l'ensemble des élèves de $TL2 B$

$A$ est une partie de $E$ car tous les élèves de $TL2 B$ sont aussi des élèves du lycée de Ndondol.

b. Intersection de deux ensembles

L'intersection de deux parties $A$ et $B$ d'un ensemble $E$ est la partie de $E$ notée $A\cap A$ constituée des éléments communs à $A$ et à $B$.

Si $A$ et $B$ n'ont aucun élément en commun alors $A\cap B=\varnothing$ et on dit que $A$ et $B$ sont disjoints.

c. Réunion de deux ensembles

La réunion de deux parties $A$ et $B$ d'un ensemble $E$ notée $A\cup B$ constituée
des éléments qui sont : soit dans $A$ seulement, soit dans $B$ seulement, soit dans $A\cap B$ .

On a les propriétés suivantes :

$\bullet card(A\cup B)=card(A)+card(B)-card(A\cap B)$

$\bullet$ Si $A$ et $B$ sont disjoints alors la propriété devient $card(A\cup B)=card(A)+card(B)$

d. Complementaire d'une partie d'un ensemble

Le complémenaire d'une partie $A$ d'un élément de $E$dans $E$ est la partie de  $E$ notée $\overline{A}$,
constituée des éléments de $E$ qui ne sont pas dans $A$.

Par exemple si $E$ professeurs mariés du lycée de Ndondol alors le complémentaire de $A$ dans $E$ est $\overline{A}$ ,l'ensemble des professeurs célibataires du lycée de Ndondol.

On a les propriétés suivantes :

$\bullet A\cap\overline{A}=\varnothing$

$\bullet A\cup\overline{A}=E$

$\bullet card(A)+card(\overline{A})=card(E)$

3. Outils de dénombrement

a. $p-liste$

i. Définition et exemple

Soit $E$ un ensemble de cardinal $n$ et $p$ un entier naturel tel que $p\leq 1$.

Une $p-liste$ d'éléments  de
$E$ est une suite ordonnée de $p$ éléments distincts ou non de $E$.

Par exemple si$E={f;a;l}$ alors
$\bullet \left(f;f\right);\left(f;a\right);\left(a;f\right);\left(f;l\right);\left(l;f\right);\left(a;a\right);\left(a;l\right);\left(l;a\right)$ et $\left(l;l\right)$;sont les $2-listes$ d'élément de $E$
.

$\bullet \left(f;f;a\right);\left(f;a;l\right);\left(a;a;a\right)$ sont des $3-listes$ d'éléments de $E$.

$\bullet \left(f;a;l\right)$ est une $4-listes$ d'éléments de $E$.

ii. Propriété

Le nombre de $p-liste$ d'élément pris parmi $n$ éléments d'un ensemble est $n^{p}$.

Par exemple, si $E={f;a;l}$
alors :

Le nombre de $2-listes$ d'éléments de $E$ est $3^{2}=9$

Le nombre de $3-listes$ d'éléments de $E$ est $3^{3}=27$

Le nombre de $4-listes$ d'éléments de $E$ est $3^{4}=81$

iii. Tirages successifs avec remise

Tirer successivement avec remise $p$ éléments parmi $n$ éléments $E$ donné
consiste à les tirer un à un mais en notant puis en remettant à chaque fois l'élément tiré avant
de tirer le suivant.

A la fin des $p$ tirages successifs, on obtient une suite ordonnée de $p$
éléments distincts ou non de $E$ c'est -à-dire une $p-liste$ d'élément de $E$

Ainsi le nombre de tirages successifs avec une remise de $p$ élément pris d'un
ensemble donné est $n^{p}$.

b. Arrangement

i. Définition et exemple

Soit $E$ un ensemble de cardinal $n$ et $p$ un entier naturel tel que $1\geq p\geq n$.

Un arrangement de
$p$ éléments de $E$ est une suite ordonnée de $p$ éléments distincts de $E$.

Par exemple si $E={f;a;l}$alors

$\bullet {f;a};{a;f};{f;l};{l;l};{a;l}$ et ${l;a}$ sont les arrangements de $2$ éléments de $E$.

$\bullet E={f;a;l}$est la combinaison de $3$ éléments de $E$.

ii. Propriété

Le nombre d'arrangement de $p$ éléments pris parmi $n$ éléments , noté $A^{p}_{n}$(on lit $A n p$)
est le produit des $p$ entiers consécutifs dont le plus grand est $n$.

Par exemple, si  $E={f;a;l}$ alors :
$\bullet$ Le nombre d'arrangements de $2$ éléments de $E$ est $A^{3}_{3}=3\times 2=6$

$\bullet$Le nombre d'arrangement de $3$ éléments de $E$ est
$A^{3}_{3}=3\times2\times 1$

iii. Tirages successifs sans remise

Tirer successivement sans remise $p$ éléments parmi
consiste à les tirer un à un mais en notant puis en écartant tirer le suivant.

A la fin des $p$ tirages
 successifs, on obtient une suite ordonnée de $p$ éléments
distincts -à-dire un arrangement de $p$ éléments de $E$.

Ainsi le nombre de tirages successifs sans
ensemble donné est $A^{p}_{n}$.

c. Combinaison

i. Définition et exemple

Soit $E$ un ensemble de cardinal $n$ et $p$ un entier naturel tel que $O\geq p\geq n$.

Une combinaison
de $p$ éléments de $E$ est une partie de $E$ contenant $p$ éléments.

Par exemple si $E={f;a;l}$alors

$\bullet {f};{a}$ et ${l}$ sont les combinaisons d'un éléments de $E$.

$\bullet {f;a};{f;l}$ et ${a;l}$ sont les combinaisons de $2$ éléments de $E$.

$\bullet E={f;a;l}$ est la combinaison de $3$ éléments de $E$.

ii. Propriété

Le nombre de combinaisons de $p$ élément pris parmi $n$ élément d'un ensemble,noté
$C^{p}_{n}$(on lit $C n p$) est $C^{p}_{n}=\dfrac{A^{p}_{n}}{1\times 2\times 3\times...\times xp}$
Par exemple, si$E={f;a;l}$ alors :

$\bullet$Le nombre de combinaisons de 2 éléments de E est $C^{2}_{3}=\dfrac{A^{3}_{3}}{1\times 2}=1$

$\bullet$Le nombre de combinaisons de 3 éléments de $E$ est$C^{3}_{3}=\dfrac{A^{3}_{3}}{1\times 2\times 3}=1$

iii. Tirages simultanés

Tirer simultanément $p$ éléments parmi consiste à tirer  simultanément $p$ parmi $n$ éléments d'un ensemble $E$ donné consiste à tirer les $p$ d'un seul coup.

Ainsi on obtient une partie de $E$ contenant $p$ éléments -à-dire
une combinaison de $p$ éléments de $E$.

Ainsi le nombre de tirages simultanés de $p$ élément pris parmi $n$ éléments d'un ensemble donné est $C^{p}_{n}$ .

Résumé

En dénombrement, si dans les objets à dénombrer, il y a :

$\bullet$de l'orde et une possibilités de répétition d'événement dans chaque objet alors on utilise
les p-listes.

$\bullet$ de l'orde
mais pas de répétition d'événement dans aucun objet alors on utilise les
arrangements.

$\bullet$Pas d'ordre et pas de possibilité de répétion dans aucun objet alors on
utilise les combinaisons.

4.Exercice d'application

1. M. Fall a oublié le mot de passe de son portable qui se trouve être un nombre entier de $3$ chiffres choisis parmi les chiffres de $0$ jusqu'à $9$.

Déterminer le nombre de mots de passe que M.Fall devra essayer s'il veut être  sûr de décoder son téléphone.

2. Une association décide d'élire son bureu composé d'un président d'un vice-président et d'un trésorier
cumul de poste, déterminer le nombre de bureaux possibles.

3. Le censeur décide de constituer un groupe de 10 élèves en $TL2 B$ qui compte $44$
élèves pour participer à la journée de nettoiement de l'école.

Déterminer toutes possibilités qui s'offre au centeur.

II. Probabilité

2. Expérience aléatoire et univers

$\bullet$On dit qu'une experience est aleatoire si on ne peut pas prédire avec certitude son
résultat mais on peut décrire l'ensemble de tous les résultats possibles.

$\bullet$Une expérience
aléatoire est dite épreuve.
noté $\bullet$.

d. Exemple

Quand on lance un cubique dont les faces sont numérotées de $1$ à $6$ puis on note le chiffre apparu sur sa face supérieure ,on a une épreuve dont léunivers $\Omega={1;2;3;4;5;6}$
.
e. Eventualité d'une épreuve

Dans une épreuve, on appelle éventualité, tout résultat possible de l'épreuve.Par exemple dans l'épreuve ci-dessus $1 ; 2 ;6...$sont des éventulités.

f. Événement d'une épreuve

Dans une épreuve d'univers $\Omega$, on appelle évènement, toute partie de $\Omega$-à-dire tout
ensemble d'éventualité.

Par exemple dans l'épreuve ci_dessus d'univers $\Omega={1;2;3;4;5;6}$
, « obtenir un chiffre pair »=${2;4;6}$ est un événement que l'on noter $A$, on a alors $A={2;4;6}$

i. Remarque

Dans une épreuve :
$\bullet$l'ensemble vide est un événement appelé évènement impossible.

$\bullet$l'univers $\omega$ est un événement appelé évènement certain.

$\bullet$ un événement contenant une seule éventualité est appelé évènement élémentaire.

Par exemple, les événements ${1};{5}$ et ${4}$ sont des événements élémentaires del'épreuve ci-dessus.

$\bullet$ un événement est réalisé si on obtient comme résultat une de ses éventualités.

ii. Évènement « $A$ et $B$ » ; événement « $A$ ou $B$ »

Soient $A$ et $B$ deux événements dans une épreuve.

$\bullet$ On appelle événement « $A$ et $B$ ,l'événement $A\cap B$.

$\bullet$ Quand $A\cap B=\varnothing$, on dit que $A$ et $B$ sont incompatibles

$\bullet$ On appelle événement « $A$ ou $B$,l'événement $A\cup B$.

v. Évènement contraire

Dans une épreuve d'univers $\Omega$,on appel événement contraire d'un événement $A$,le
complémentaire de $A$ dans $\Omega$$ On le note $\varnothing A$.

Par excemple dans l'épreuve ci-dessus d'univers d'univers $\Omega={1;2;3;4;5;6}$,l'événement contraire de $A={2;4;6}$ est $\varnothing A{1;3;5}$

3. Notion de probabilité

v.Hypothése d'équiprobalilité

Dans une épreuve d'univers $\Omega={e_{1};e_{2}...;E_{n}}$on dit qu'il y a équiprobalilité si tous les événements élémentaires ont la même probabilité.

Dans les exercices,l'équiprobalilité
suggérée par des expressions comme : Dé parfait ; boules indiscernables au toucher ; pièce
équilibrée, cartes bien battues;tirer au hasard.....

vi. Propriété

Dans une épreuve d'univers $\Omega$,s'il ya équiprobabilité alors la probabilité d'un événment $A$ est le réel noté $P(A)$ défini par $P(A)=\dfrac{card\left(A\right)}{card\left(\Omega\right)}$

vii. Remarque

La probabilité del'événement impossible est $P\left(\varnothing\right)=0$

La probabilité del'événement certain est $P\left(\Omega\right)=1$
.
viii. Propriétés

$\bullet P(A)=1-P(A)$ et $P\left(\overline{A}\right)$ et$ P(A)=1-P(\overline{A})$

$\bullet $Si $A$ et $B$ sont incompatibles alors $P\left(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B\right)$

$\bullet $ Si $A$ et $B$ sont quelconques alors  incompatibles alors $P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)$

Exercice d'application( Bac 2013)

En marge du sommet de l'OCI,un groupe de $12$ hommes d'affaires dont $5$ saoudiens,$4$ marocains et $3$ sénégalais s'étant réunis,décides d'élire un bureau composé d'un président,d'un vice-président et un sécréataire pour coordonner leurs activités.

Une personne ne peut
pas cumuler deux fonctions.

1.Déterminer le cardinal de l'univers.

2. Calculer la probabilité des événements suivants :

A : « le bureau est composé de 3 hommes de même nationalité »

B : « le bureau est composé de 3 hommes de nationalité différente »

C : « un sénégalais est élu président »

D : « un sénégalais et un saoudien prennent les postes de président et de vice président