On considère une application $$f : \begin{array}{rcl}
[4 ; +\infty[→ ℝ^{+}\\
x ⟼ x(\sqrt{x − 2})^{2}.
\end{array}.$$
1) Montrer que $∀ x; y \in [4; +∞[, f(x) = f(y) ⇒ (\sqrt{x }− 1)^{2} = (\sqrt{y} − 1)^{2}$.
2) Démontrer que $f$ est injective.
3) Démontrer que $f$ est bijective et déterminer sa bijection réciproque.
Soit $p(x)= ax^{2}+ bx^{3}+cx^{3}+bx+ a$ avec $a b$ et $c$ trois réels non nuls.
1) Montrer que $0$ n’est pas racine de . $P(x)$.
2) Montrer que si $\alpha$ est racine alors $\dfrac{1}{\alpha}$ l’est aussi.
3) Soit $x\ne 0$ on pose $y= x+\dfrac{1}{x}$.
a) Exprimer $y^{2}$ en fonction de $x$ et en déduire
$\dfrac{p(x)}{x^{2}}$ en fonction de $a,b,c,, y$ et $y^{2}$.
1. Soit l'équation $(E)$ : $(m+1)x^{2}+2(m-3)x+m+3=0$
a. Discuter suivant les valeurs de $m$ de nombre de solutions de l'équation $(E)$
b. Dans le cas où $(E)$ admet deux solutions distinctes, déterminer leur signes selon les valeurs de $m$
c. Dans le cas où les racines distinctes existent et sont notées $x_{1}$ et $x_{2}$, trouver une relation indépendante de $m$ qui les lie
1. Résoudre dans $\mathbb{R}\sqrt{x^{2}+2x-3}\leq 2x+1$
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ suivant les valeurs de $m$ : $\left(m^{2}-1\right)\left(-2x^{2}+3x-1\right)< 0$
1. Soit $P(x)=(x+1)^{2n}-x^{2n}-2x-1$ ; $n\in\mathbb{N}^{\ast}$ et $H(x)=2x^{3}+3x^{2}+x$
a. Factoriser $H(x)$
b. En déduire que $P(x)$ est divisible par $H(x)$
1. Soit $f(x)=(m-1)x^{2}+(m-1)x+m+1$ avec $m$ est un paramètre réel.
a. Étudier le signe de $(m-1)f(1)$ et de $(m-1)f(2)$ suivant les valeurs de $m$
b. En déduire les valeurs de $m$ pour que $f(x)=0$ ait deux solution $x_{1}$ et $x_{2}$ vérifiant:
$1<x_{1}<2<x_{2}$
$\left|\left(x_{1}\right)^{2}-\left(x_{2}\right)^{2}\right|=4$
1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations irrationnelles suivantes.
a. $\sqrt{-4x^{2}+x+5}=|2x+2|$
b. $\sqrt{1-2x}\geq 2x+11$
c. $\sqrt{3-2x}+\sqrt{2x+5}=4$
d. $2x^{2}+x+2\sqrt{2x^{2}+x-3}=6$
a. Déterminer le polynôme $P$ de degré $3$ tel que $P(O)=O$ et pour tout réel $x$, $P(x)-P(x-1)=x^{2}$
Soit $f$ l'application définie par : $f\ :\ ]2\ ;\ +\infty[\mapsto \mathbb{R}\\ x\mapsto \dfrac{x^{2}}{1-x}$
1. Montrer que $f$ est injective
2. Montrer que $\left(\forall x\in\left]2\ ;\ \infty\right[\right)\;,f(x)< -4$
3. $f$ est-elle surjective ?
4. Soit $g$ l'application définie par
Il sera tenu compte, pour l'évaluation des copies, de la présentation ainsi que la clarté et de la rigueur des solutions proposées.
Les téléphones portables sont interdits.
On considère la fonction définie par $f(x)=1+\sqrt{x+4E\left(\dfrac{x}{4}\right)}$
1. Montrer que $D_{f}=\mathbb{R}$
2. Montrer que $4$ est une période de la fonction $f$
On pose $\left(\forall x\in\mathbb{R}\right)$ ; $A(x)=\dfrac{1}{2}\sin(2x)+\sin\left(x+\dfrac{\pi}{8}\right)-\dfrac{\sqrt{2}}{4}$
1.Vérifier que $\sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right)\cdot\cos\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$
2. (a) Montrer que $\left(\forall x\in\mathbb{R}\right)$ ; $A(x)=\left(\cos x+\cos\left(\dfrac{\pi}{8}\right)\right)\left(\sin x-\sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right)\right)$
Déterminer les domaine de définitions des fonctions définies ci-dessous :
$f(x)=\dfrac{x^{2}-1}{xE(x)}$
$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{rcl} x\sqrt{\dfrac{x}{x-2}}&\text{ si }& &<&0\\ x+\sqrt{2x^{2}+x}&\text{ si }x&\geq& 0 \end{array}\right.$