$ABC$ est un triangle du plan tel que : $AB = 4cm , AC = 5cm$ et $\cos(\overbrace{A}) =\dfrac{3}{5}$.
1. Construire le triangle $ABC$ sans chercher une valeur approchée de l’angle $\overbrace{BAC}$ et expliquer la méthode utilisée.
2. $A’$ est le milieu de $[BC]$ et $I$ est le barycentre des points pondérés $(A, 2), (B, −1)$ et $(C, 1)$
a) Démontrer que $AA’CI$ est un parallélogramme.
Considérons la fonction $f$ définie par $f(n)=\Pi_{k=2}^{n}\left(1-\dfrac{1}{k^{2}}\right)$
L'objectif de cette partie est de montrer que $\lim\limits_{n\longrightarrow +\infty}f(n)=\dfrac{1}{2}$
1. Montrer que $1-\dfrac{1}{k^{2}}=\dfrac{k^{2}-1}{k^{2}}=\dfrac{(k-1)(k+1)}{k\times k}$
2. Montrer que $\Pi_{k=2}^{n}\left(1-\dfrac{1}{k^{2}}\right)=\dfrac{(k-1)(k+1)}{k\times k}$
On considère la fonction numérique définie par : $f(x)=\dfrac{\sin x-\cos x}{\sin (2x)-\sqrt{2 \cos x}}$
1. a. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $\sin (2x)-\sqrt{2} \cos x=0$
b. Déduis $D_{f}$
2. Montre que pour tout $x\in D_{f}\;, f(x)=\dfrac{\tan x-1}{2\sin x-\sqrt{2}}$
a. Résoudre dans $[0\ ;\ 2\pi]$ l'équation $f(x)=0$
Soit $ABC$ u triangle rectangle en $C$ et en réel différent de $-2$
On considère l'application $f$ du plan $\mathbb{R}$ par : $f(M)=MA^{2}+MB^{2}+mMC^{2}$
1. Justifier l'existence du point $G_{m}$ barycentre du système : $\left\lbrace(A\;,1)\ ;\ (B\;,1)\ ;\ (C\;,m)\right\rbrace$
2. Montre que $f(M)=(2+m)MG_{m}^{2}+f\left(G_{m}\right)$
On considère l'application $f\ :\ \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\\ x\mapsto x^{2}-4x+5$
1.a Montrer que $\forall x\in\mathbb{R}\ :\ f-2-x)=f(2x+x)$
b. L'application $f$ est-elle injective ? Justifier
2.a Montrer que $\forall x\in\mathbb{R}\ :\ f(x)\geq 1$
b. L'application $f$ est surjective ? justifier
Soient $A$ et $B$ deux points d'une droite $(\Delta)$, $a$ et $b$ deux nombres réels tels que : 0 a b
1. Démontrer qu'il existe deux points $C$ et $D$ tels que $C$ soit le barycentre des points
$\left\lbrace(A\;,a)\;,(B\;,b)\right\rbrace$ et $D$ soit le barycentre des points des points
$\left\lbrace A\;,a)(B\;,-B) \right\rbrace$
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation suivante : $\sqrt{2x+1}=x+1$
2. Résoudre dans $\mathbb{R}^{3}$ le système suivantes : $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y+z&=&-19\\
16x-8y-2z&=&-58\\ x-y-z&=&11 \end{array}\right.$
3. En déduire la solution du système suivant :
a. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et l'inéquation suivantes :
a. $\sqrt{3-2x}+\sqrt{2x+5}=4$
b. $\sqrt{2x^{2}+5x-7}\geq x-1$
2. Soit $P$ un polynôme de degré $n$ avec $n\leq 3$, divisible par $(x-1)$ et ayant le même reste, le réel $r$ dans les divisions euclidiennes par $(x-2)$ ; $(x-3)$ et $(x-4)$
Déterminer l'ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes :
a. $f(x)=\sqrt{\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}}$
b. $f(x)=\sqrt{x+2-\sqrt{x^{2}-3x+1}}$
c. $f(x)=\dfrac{\sqrt{3x^{2}+1}+5x}{3x-1}$
d. $f(x)=\dfrac{\sqrt{3x^{2}+1}}{\sqrt{x^{2}+x}-\sqrt{x^{2}+1}}$
e. $f(x)=\dfrac{x-\sqrt{x^{2}-3x+1}}{2x+\sqrt{4x^{2}+x}}$
On considère une application $f\ :\ [4\ ;\ +\infty[\rightarrow\mathbb{R}^{+}\\ x\mapsto x\left(\sqrt{x}-2\right)^{2}$
1. Montrer que $\forall x\ ;\ y\in[4\ ;\ +\infty[\;,f(x)=f(y)\Rightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)^{2}=\left(\sqrt{y}-1\right)^{2}$
2. Démontrer que $f$ est injective
3. Démontrer que $f$ est bijective et déterminer sa bijection réciproque.