1. On se propose de calculer la somme $S_{n}=\Sigma_{k=1}^{n}k(n-k)$ en fonction de $n$
a. Démontrer par récurrence que $\Sigma_{k=1}^{n}k^{2}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
b. En remarquant que $T_{n}=\sigma_{k=1}k=\dfrac{n(n+1)}{2}$, montrer que : $S_{n}=\dfrac{(n-1)}{3}\times T_{n}$
2. Démontrer que récurrence la propriété : $\left(P_{n}\right)_{n\geq 5}\ :\ 2^{2}>(n+1)$
I. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations irrationnelles suivantes
a. $\sqrt{3x^{2}+x+3}=\sqrt{x^{2}+2x}$
b. $\sqrt{2\left(x^{2}-2x+2\right)}\geq x+1$
2. On considère le polynôme $P(x)=x^{3}-6x^{2}+11x-6$
a. Calculer $P(I)$
b. Résoudre dans $\mathbb{R}$, l'équation $P(x)=0$
Soit l'équation $(E)\ :\ (m+1)x^{2}+2mx+m-5=0$
1. Déterminer $m$ pour que $(E)$ admette deux racine inverses.
2. Déterminer $m$ pour que $(E)$ admette deux racines distinctes positives
3. Déterminer $m$ pour que $(E)$ admette deux racines $x_{1}$ et $x_{2}$ vérifiant $-1< x_{1}<1< x_{2}$
1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes
a. $\left|x^{2}+2x-3\right|\geq 2x-1$
b. $2x^{2}+x+2\sqrt{2x^{2}+x-3}=6$
c. $\sqrt{4x+9}\geq x+1$
d. $\sqrt{3-2x}+\sqrt{2x+5}=4$
e. $\sqrt{4x^{2}-1}<-4x$
f. $\sqrt{6-x}<\sqrt{2x^{2}-x-3}$
1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes :
a. $\sqrt{2x^{2}-3x+7}=3x-3$
b. $\sqrt{2x+1}+\sqrt{5-x}=8$
c. $\sqrt{x^{2}+4x}\geq-x+2$
d; $\left[-x^{2}+x+1\right]\leq x-7$
II. On appelle réciproque de degré $n$ tout polynôme $P(x)$ vérifiant :
1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et l'inéquation suivantes :
a. $\sqrt{3-2x}+\sqrt{2x+5}=4$
b. $3x^{4}-8x^{3}+3x^{2}-8x+3=0$
c. $\sqrt{2x^{2}+5x-7}\geq x-1$
2. Déterminer tous les polynômes non nuls $P(x)$ vérifiant $P\left(x^{4}\right)=\left(x^{4}+1\right)P\left(x^{2}\right)$
1. Résoudre dans $\mathbb{R}^{2}$ les systèmes suivants :
a. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x+7y&=&3\\ 3x-y&=&-7 \end{array}\right.$
b. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} xy&=&64\\ x+y&=&16 \end{array}\right.$
Mettre sous forme canonique chacun des trinômes suivants :
a. $f(x)-x^{2}-5x+11$
b. $g(x)=6x^{2}+5x-1$
c. $h(x)=-25x^{2}+20x-4$
d. $k(x)=x^{2}-7x+12$
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes
1. Résoudre le système : $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y&=&110\\ 2x+5y&=&340 \end{array}\right.$
2. Un théâtre propose deux types de billets les uns à $1000\,f$ et les autres à $2500\,f$
On sait que $110$ spectateurs ont assisté à cette représentation théâtrale et que la recette totale s'élève à $170000\,f$
Calcule le nombre de billets vendus pour chaque type
1. Soit $P(x)=ax^{2}+bx+c$ avec $a$, $b$ et $c$ des réels
$P$ est trinôme du second degré si $\ldots\ldots a\ldots\ldots$$
La forme canonique de $P(x)=\ldots\ldots (b)\ldots\ldots$
Si son forme $\Delta >0$ alors $(x)$ a deux racines distinctes $x_{1}$ et $x_{2}$ tels que $x_{1}=\ldots$
$(c)\ldots\ldots$ et $x_{2}\ldots\ldots(d)\ldots\ldots$