Composition

Exercice 1(08 points)

ABC est un triangle du plan tel que : AB = 4cm , AC = 5cm et \(\cos ((\widehat{A})=\frac{3}{5}\).

Exercice 1 (3 points)

     1. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) :
    
        a. \(\sqrt{2x^{2} - 3x - 2} = 2x^{2} - 3x - 1 \) $(1~\text{pt})$
        b. \(\sqrt{x^{2} - 3x + 2} \geq x + 3      \) $(1~\text{pt})$
    
    2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) suivant les valeurs de \(m\) : 
    \[
    (m^{2} - 1)(-2x^{2} + 3x - 1) < 0 \\ (1~\text{pt})
    \]

Exercice 2 (3 points)

Épreuve : mathématique

Exercice 1

1.a) Montrer par récurrence que pour tout $\in\mathbb{N}\;,21^{n}\equiv 1+20\,n\left(\text{mod }100\right)$
 
b. En déduire les deux derniers chiffres de l'entier $2021^{2021}$

On note $(E)$ l'ensemble des entiers  $x\in\mathbb{Z}$  tels que pour tout $\in\mathbb{N}\;,x^{n}\equiv 1+n(x-1)(\text{mod 100})$

Épreuve :mathématique 

1. Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes non nuls. 

Compléter les propriétés sur les modules et arguments suivants :
 
a. $\left|2^{2}\right|=\ldots\;,n$  un entier naturel ;   

c.  Si $z'$ est non nul, alors $\left|\dfrac{x}{x'}\right|=\ldots$

b. $arg\left(z^{n}\right)=\ldots\;,n$ un entier naturel  ; 

Exercice 1 :

Soit $P$ un nombre premier impair.  

On considère dans $\mathbb{Z}$ l'équation $(E)\ :\ x^{2}\equiv 2[p]$

Exercice 1 :
 
On considère dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes, l'équation $(E)$ :  

$z^{3}-\left(1+2\mathrm{i}\right)z^{2}+3\left(1+\mathrm{i}\right)z-10\left(1+\mathrm{i}\right)=0$

1. a. Déterminer les racines carrées du complexe $Z=5-12\mathrm{i}$

b. Montrer que $(E)$ admet une solution imaginaire que l'on déterminera.  
c. Déterminer $\alpha$ et $b$ tels que : 

Pour tout $n\in\mathbb{N}^{\ast}$, on pose : $A_{n}\int_{0}^{1}\dfrac{x^{n}}{n!}\mathrm{e}^{-x}dx\;, A_{0}=\int_{0}^{1}\mathrm{e}^{-x}dx$ et $U_{n}=\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{k!}$

1.a. Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}^{\ast}\;, 0\leq A_{2}\leq\dfrac{1}{n!}$ et en déduire $\lim\limits_{n\longrightarrow\,+\infty}A_{n}$

Épreuve mathématique 

Exercice 1

Soit le complexe $\alpha=-1-\vec{i}$ et $\left(?_{?}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite de nombres complexes définie par : 

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} ?_{0}&=&0 ???_{1}=?\\ ?_{?+1}&=&(1-?)?_{?}+??_{?-1} \end{array}\right.$

1. Déterminer $?_{2}$ et $?_{3}$ sous forme algébrique.

Exercice 1

Les parties $A$ et $B$ sont indépendantes

$A-$ On considère le polynôme $?$ défini par $?(?)=2?^{3}-5?^{2}-46?+24$
 
1. Vérifier que $6$ est racine de $?(?)$

2. En déduire une factorisation complète de $?(?)$

3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $?(?)=0$

4. En déduire les solutions de :

Épreuve mathématique 

Exercice 1

1. Étudier suivant les valeurs de l'entier naturel $n$ le reste de la division euclidienne de $5^{n}$par $7$
                                                                                                                                   
2. Pour tout entier naturel $n$ on pose $S_{n}=1+5+5^{2}+\ldots+5^{n}$