Composition

Exercice 1

1) On donne le polynôme $P(x)=ax^{3}+bx^{2}-18x+c$ ; où $a$,$b$ et $c$ sont des réels.  

Exercice 1

Le plan est rapporté au repère orthonormé direct $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$

I. On appelle $T$ l'application du plan dans lui-même qui au point $M(x\;,y)$ associe le point $M'\left(x^{'}\;,y^{'}\right)$ tel que :   $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x'&=&x+y\\ y'&=&-x+y-1\end{array}\right.$

Exercice 1

Abdoulaye commence un nouvel emploi dans une entreprise.

Son salaire hebdomadaire augmente régulièrement chaque semaine, selon une progression arithmétique

On note $U_{n}$ le salaire de la $n$-ième semaine, en $FCFA$ Sachant que : 
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl}U_{6}&=&12500\\u_{1}+U_{2}\ldots+U_{6}&=&60000\end{array}\right.$$

Exercice 1

Partie 1 :

1.a. Déterminer à l'aide de l'algorithme d'Euclide, deux entiers $a$ et $b$ tels que $31a+13b=1$

b. Déduire l'entier, inverse de $13$ modulo $31$ compris entre $1$ et $30$                                                                                           

Exercice 1

1. 1. On considère deux entiers naturels $a$ et $b$ tel que : $a+b=23$

a. Montrer que $a$ et $b$ sont premiers entre eux
 
b. En déduire $a$ et $b$ sachant que $a< b$  et $PPMC(a\;,b)=126$

2. Résoudre dans $Z^{2}$ l'équation $9u-14v=1$                                  

Exercice 1

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $\left(O\;,\vec{u}\;,\vec{v}\right)$

1.a. Calculer le module et un argument de $1+i\sqrt{3}$

b. En déduire la forme algébrique de : $\left(1+i\sqrt{3}\right)$
                
 
2. On considère le polynôme $P$ défini par :  

Exercice 1

A  On donne le nombre complexe $u=3+3i$
 
1. Mettre $u$ sous forme exponentielle.
                                                                                                                
2. Montrer que $u^{3}=-54+54i$
 
3. a. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^{3}=1$ (on donnera les solutions sous forme exponentielle).

 Épreuve de mathématiques

Exercice 1 :

On précise que les questions sont indépendantes.

1. Trouver toutes les paires d'entiers naturels non nuls $a$ et $b$  tels que : $\left\lbrace\begin{array}{rcl}
PPCM(a\;,b)&=&3PGCD(a\;,b)&=&276\\ 10&<&PGCD(a\;,b)&<&30 \end{array}\right.$

Exercice 1 :

Soient  $p$ et $q$ deux nombres premiers vérifiant : $9^{p+q-1}\equiv 1[pq]$ et $p<q$

1. a Montrer que $p$ et $9$ sont premiers entre eux.                                                                         

b. En déduire que  $9^{p-1}\equiv 1[p]$ et $9^{q}\equiv 1[p]$

Exercice 1

A. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes

a. $-2x+1=\sqrt{x^{2}+5}$

b. $x+1>\sqrt{x(x-1)}$

B. Soit $P(x)=ax^{4}+bx^{3}-4x^{2}-3x+c$

1. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ sachant que

$P(x)$ est divisible par $(x+1)(x+2)(x-1)$

2. En admettant que $a=2$ ; $b=3$ et $c=2$ donner une factorisation complète de $P(x)$ puis résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $P\left(x^{2}-1\right)=0$