Soient $A$ et $B$ deux points d’une droite$ ( \Delta ), a$ et $b$ deux nombres réels tels que : $0<\alpha<b$
1. Démontrer qu’il existe deux points $C$ et $D$ tels que $C$ soit le barycentre des points
${(A a), (B,b )}$ et $D$ soit le barycentre des points des points ${(A a), (B,-b )}$ .
2. Préciser la position de ces points par rapport aux points $A$ et $B$ .
3. La droite $(\Delta )$ est muni d’un repère $( A , B )$ .
1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations irrationnelles suivantes.
a. $\sqrt{-4x^{2}+x+5}=|2x+2|$
b. $\sqrt{1-2x}\geq 2x+11$
c. $\sqrt{3-2x}+\sqrt{2x+5}=4$
d. $2x^{2}+x+2\sqrt{2x^{2}+x-3}=6$
2.a. Déterminer le polynôme $P$ de degré $3$ tel que $P(O)=O$ et pour tout réel $x$, $P(x)-P(x-1)=x^{2}$
1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations irrationnelles suivantes.
a. $\sqrt{-4x^{2}+x+5}=|2x+2|$
b. $\sqrt{1-2x}\geq 2x+11$
c. $\sqrt{3-2x}+\sqrt{2x+5}=4$
d. $2x^{2}+x+2\sqrt{2x^{2}+x-3}=6$
a. Déterminer le polynôme $P$ de degré $3$ tel que $P(O)=O$ et pour tout réel $x$, $P(x)-P(x-1)=x^{2}$
Soit $f$ l'application définie par : $f\ :\ ]2\ ;\ +\infty[\mapsto \mathbb{R}\\ x\mapsto \dfrac{x^{2}}{1-x}$
1. Montrer que $f$ est injective
2. Montrer que $\left(\forall x\in\left]2\ ;\ \infty\right[\right)\;,f(x)< -4$
3. $f$ est-elle surjective ?
4. Soit $g$ l'application définie par
Il sera tenu compte, pour l'évaluation des copies, de la présentation ainsi que la clarté et de la rigueur des solutions proposées.
Les téléphones portables sont interdits.
On considère la fonction définie par $f(x)=1+\sqrt{x+4E\left(\dfrac{x}{4}\right)}$
1. Montrer que $D_{f}=\mathbb{R}$
2. Montrer que $4$ est une période de la fonction $f$
On pose $\left(\forall x\in\mathbb{R}\right)$ ; $A(x)=\dfrac{1}{2}\sin(2x)+\sin\left(x+\dfrac{\pi}{8}\right)-\dfrac{\sqrt{2}}{4}$
1.Vérifier que $\sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right)\cdot\cos\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$
2. (a) Montrer que $\left(\forall x\in\mathbb{R}\right)$ ; $A(x)=\left(\cos x+\cos\left(\dfrac{\pi}{8}\right)\right)\left(\sin x-\sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right)\right)$
Déterminer les domaine de définitions des fonctions définies ci-dessous :
$f(x)=\dfrac{x^{2}-1}{xE(x)}$
$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{rcl} x\sqrt{\dfrac{x}{x-2}}&\text{ si }& &<&0\\ x+\sqrt{2x^{2}+x}&\text{ si }x&\geq& 0 \end{array}\right.$
Soit $a, b$ et $c$ trois réels et $P (x) = x^{3} + ax^{2} + bx + c$ un polynôme.
On suppose que $P (x)$ admet trois racines $α ,β$ et $γ$.
1. a) Développer $(α + β + γ)²$ et $(αβ + βγ + γα)² $
b) Déterminer en fonction de $x, a, b$ et $c$,le polynôme unitaire $Q(x)$ ayant pour racines $α^{2},
β^{2}$ et γ²$.
2. a) Montrer que le polynôme $Q (x²)$ peut s’écrire sous la forme :
$Q (x²) = P(x) ×R(x)$ où $R (x)$ à déterminer.
On considère la fonction numérique définie par : $f(x) = \dfrac{\sin x − \cos x}{\sin(2x) −\sqrt{2}\cos x}$
1. (a) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation :$\sin(2x) −\sqrt{2}\cos x = 0 $
(b) Déduire $D_{f} $
2. Montrer que pour tout $x \in D_{f} , f(x) = \dfrac{\tan x − 1}{2\sin x −\sqrt{2}}$
(a) Résoudre dans $[0; 2\pi]$ l’équation $f(x) = 0$
Considérons la fonction définie par $f(n) Π^{n}_{k=2} (1-\dfrac{1}{k^{2}})$.
L’objectif de cette partie est de montrer que$\lim\limits_{n \longrightarrow +\infty} f(n)=\dfrac{1}{2}$.
1. Montrer que $1-\dfrac{1}{k^{2}}=\dfrac{k^{2}-1}{k^{2}}=\dfrac{(k-1 )(k+1 )}{k\times k}$.
2. Montrer que $Π^{n}_{k=2} (1-\dfrac{1}{k^{2}})=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{n+1}{n}\right)$.