On considère l’équation $(E) : (m + 1)x^{2} + 2mx + m − 5 = 0$.
1) Étudier, suivant les valeurs du paramètre réel $m$, l’existence et le signe des racines de $(E)$.
2) Déterminer m pour que $(E)$ ait deux racines $x^{'}$ et $x^{''}$ vérifiant $−1 < x^{'} < 1 < x^{''}$.
3) Trouver une relation indépendante de $m$ entre les racines de $(E)$.
4) Former l’équation du second degré ayant pour racines $(3x^{'} − 2)$ et $(3x^{''} − 2)$.
Déterminer l’ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes
a) $f(x) = \sqrt{\dfrac{\sqrt{x + 3 }− 2}{x − 1}}$
b)$f(x) =\sqrt{x-2-\sqrt{x^{2}+3x+1}}$
c)$f(x) =\dfrac{\sqrt{3x^{2} + 1} + 5x}{3x − 1}$
d)$f(x) =\dfrac{\sqrt{3x^{2} + 1}{\sqrt{x^{2}+x}}-\sqrt{x^{2}+1}} e)f(x) $
Dans le plan muni d’un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$.
On considère une application $$f : \begin{array}{rcl}
[4 ; +\infty[→ ℝ^{+}\\
x ⟼ x(\sqrt{x − 2})^{2}.
\end{array}.$$
1) Montrer que $∀ x; y \in [4; +∞[, f(x) = f(y) ⇒ (\sqrt{x }− 1)^{2} = (\sqrt{y} − 1)^{2}$.
2) Démontrer que $f$ est injective.
3) Démontrer que $f$ est bijective et déterminer sa bijection réciproque.
Soit $p$ et $q$ sont deux fonctions définis pour tout réel $x$ non nul par :
$p(x) = x^{6} − 5x^{5} + 4x^{4} − 3x^{3} + 4x^{2} − 5x + 1$
$q(x) = \left(x+\dfrac{1}{x}\right)^{3}
+ 5\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^{2} +\left(x+\dfrac{1}{x}\right) + 7$
1. Montrer que $\dfrac{q(x)}{p(x)}=\dfrac{1}{x^{3}}$ .
2. Montrer que les équations $p(x) = 0$ et $q(x) = 0$ sont équivalentes et déterminer leurs solutions communes
Soit $p(x)= ax^{2}+ bx^{3}+cx^{3}+bx+ a$ avec $a b$ et $c$ trois réels non nuls.
1) Montrer que $0$ n’est pas racine de . $P(x)$.
2) Montrer que si $\alpha$ est racine alors $\dfrac{1}{\alpha}$ l’est aussi.
3) Soit $x\ne 0$ on pose $y= x+\dfrac{1}{x}$.
a) Exprimer $y^{2}$ en fonction de $x$ et en déduire
$\dfrac{p(x)}{x^{2}}$ en fonction de $a,b,c,, y$ et $y^{2}$.
1. Soit l'équation $(E)$ : $(m+1)x^{2}+2(m-3)x+m+3=0$
a. Discuter suivant les valeurs de $m$ de nombre de solutions de l'équation $(E)$
b. Dans le cas où $(E)$ admet deux solutions distinctes, déterminer leur signes selon les valeurs de $m$
c. Dans le cas où les racines distinctes existent et sont notées $x_{1}$ et $x_{2}$, trouver une relation indépendante de $m$ qui les lie
1. Résoudre dans $\mathbb{R}\sqrt{x^{2}+2x-3}\leq 2x+1$
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ suivant les valeurs de $m$ : $\left(m^{2}-1\right)\left(-2x^{2}+3x-1\right)< 0$
1. Soit $P(x)=(x+1)^{2n}-x^{2n}-2x-1$ ; $n\in\mathbb{N}^{\ast}$ et $H(x)=2x^{3}+3x^{2}+x$
a. Factoriser $H(x)$
b. En déduire que $P(x)$ est divisible par $H(x)$
1. Soit $f(x)=(m-1)x^{2}+(m-1)x+m+1$ avec $m$ est un paramètre réel.
a. Étudier le signe de $(m-1)f(1)$ et de $(m-1)f(2)$ suivant les valeurs de $m$
b. En déduire les valeurs de $m$ pour que $f(x)=0$ ait deux solution $x_{1}$ et $x_{2}$ vérifiant:
$1<x_{1}<2<x_{2}$
$\left|\left(x_{1}\right)^{2}-\left(x_{2}\right)^{2}\right|=4$
1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation suivante : $\sqrt{2x + 1} = x + 1$
2· Résoudre dans $R^{3}$ le système suivant :
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl}:
x + y + z &=& −19\\
16x − 8y − 2z &=& −58\\
x − y − z &=& 11
\end{array}\right.$$
On considère l’application $$\begin{array}{rcl}
f : \mathbb{R} &→&\mathbb{R}\\
. x &→ &x^{2} − 4x + 5\end{array}$$
1. a. Montrer que $∀x ∈ \mathbb{R} : f(2 − x) = f(2 + x)$.
b. L’application $f$ est-elle injective?
Justifier.
2. a. Montrer que $∀x ∈ \mathbb{R} : f(x) ≥ 1$.
b. L’application $f$ est-elle surjective?
justifier.