S1

Exercice 1 :

Énoncer de manière concise et précise :

1.le théorème de Roll

2. le théorème des accroissements finis

3. le théorème des accroissements finis généralisés

4. le théorème de l'inégalité des accroissements finis

Exercice 1

Sur les traces du village d'origine d'Omar Ibn Said

L'histoire d'Omar Ibn Said est une histoire fascinante qui continue de faire
couler beaucoup d'encre en Afrique et aux États-Unis.

Omar Ibn Said né au Fouta Toro (Sénégal) vers $1770$, il fut capturé et vendu à
l'age de $37$ ans comme esclave à Charleston (Caroline du Sud- États-Unis).

Exercice 1

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes

a. $\sqrt{x+1}+\sqrt{2x+3}=5$

b. $\sqrt{x^{2}+3x+6}-3x=x^{2}+4$

c. $\sqrt{x^{2}-1}\leq 2x+3$

2. Résoudre dans $\mathbb{R}^{3}$
le système suivant par la méthode du pivot de GAUSS :

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} |x|5(y-2)-\dfrac{14}{x}&=&3\\ 5|x|+3(y-2)+\dfrac{2}{x}&=&3\\
3|x|+(y-2)-\dfrac{4}{x}&=&-1 \end{array}\right.$

Épreuve : mathématique

Exercice 1

1.a) Montrer par récurrence que pour tout $\in\mathbb{N}\;,21^{n}\equiv 1+20\,n\left(\text{mod }100\right)$
 
b. En déduire les deux derniers chiffres de l'entier $2021^{2021}$

On note $(E)$ l'ensemble des entiers  $x\in\mathbb{Z}$  tels que pour tout $\in\mathbb{N}\;,x^{n}\equiv 1+n(x-1)(\text{mod 100})$

Exercice 1 :

Soit $P$ un nombre premier impair.  

On considère dans $\mathbb{Z}$ l'équation $(E)\ :\ x^{2}\equiv 2[p]$

Pour tout $n\in\mathbb{N}^{\ast}$, on pose : $A_{n}\int_{0}^{1}\dfrac{x^{n}}{n!}\mathrm{e}^{-x}dx\;, A_{0}=\int_{0}^{1}\mathrm{e}^{-x}dx$ et $U_{n}=\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{k!}$

1.a. Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}^{\ast}\;, 0\leq A_{2}\leq\dfrac{1}{n!}$ et en déduire $\lim\limits_{n\longrightarrow\,+\infty}A_{n}$

Épreuve mathématique 

Exercice 1

1. Étudier suivant les valeurs de l'entier naturel $n$ le reste de la division euclidienne de $5^{n}$par $7$
                                                                                                                                   
2. Pour tout entier naturel $n$ on pose $S_{n}=1+5+5^{2}+\ldots+5^{n}$

Exercice 1

Partie 1 :

1.a. Déterminer à l'aide de l'algorithme d'Euclide, deux entiers $a$ et $b$ tels que $31a+13b=1$

b. Déduire l'entier, inverse de $13$ modulo $31$ compris entre $1$ et $30$                                                                                           

Exercice 1

1. 1. On considère deux entiers naturels $a$ et $b$ tel que : $a+b=23$

a. Montrer que $a$ et $b$ sont premiers entre eux
 
b. En déduire $a$ et $b$ sachant que $a< b$  et $PPMC(a\;,b)=126$

2. Résoudre dans $Z^{2}$ l'équation $9u-14v=1$                                  

 Épreuve de mathématiques

Exercice 1 :

On précise que les questions sont indépendantes.

1. Trouver toutes les paires d'entiers naturels non nuls $a$ et $b$  tels que : $\left\lbrace\begin{array}{rcl}
PPCM(a\;,b)&=&3PGCD(a\;,b)&=&276\\ 10&<&PGCD(a\;,b)&<&30 \end{array}\right.$